[논문 리뷰] Quantitative estimates for homogenization of nonlinear elliptic operators in perforated domains

Li Wang, Qiang Xu외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 16.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 44인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 주기적으로 구멍이 뚫린 도메인에서 비선형 타원형 균질화의 날카운 O(ε) 수렴 속도를 확립한다. 이는 이전에 O(ε^{1/2})로 떨어지는 경계층 효과를 극복함으로써 이루어지며, 구멍이 난 도메인에서 새로운 L^p 확장 이론과 Poincaré-Sobolev 부등식을 개발함으로써 대규모 내부 및 경계 리프시츠 추정을 도출하고, 실변수 기법을 통해 쿼런치 Calderón-Zygmund 추정을 증명한다.

ABSTRACT

This paper was devoted to study the quantitative homogenization problems for nonlinear elliptic operators in perforated domains. We obtained a sharp error estimate $O(\varepsilon)$ when the problem was anchored in the reference domain $\varepsilonω$. If concerning a bounded perforated domain, one will see a bad influence from the boundary layers, which leads to the loss of the convergence rate by $O(\varepsilon^{1/2})$. Equipped with the error estimates, we developed both interior and boundary Lipschitz estimates at large-scales. As an application, we received the so-called quenched Calderón-Zygumund estimates by Shen's real arguments. To overcome some difficulties, we improved the extension theory from (\cite[Theorem 4.3]{OSY}) to $L^p$-versions with $\frac{2d}{d+1}-ε

연구 동기 및 목표

• 주기적으로 구멍이 뚫린 도메인에서 혼합 경계 조건을 갖는 비선형 타원형 연산자의 정량적 수렴 속도를 확립하는 것.
• 유한한 구멍이 뚫린 도메인에서 경계층 효과로 인해 수렴 속도가 O(ε)에서 O(ε^{1/2})로 떨어지는 것을 다루는 것.
• 균질화 문제의 해에 대해 대규모 내부 및 경계 리프시츠 추정을 수립하는 것.
• 실변수 기법과 개선된 확장 이론을 사용하여 쿼런치 Calderón-Zygumund 추정을 증명하는 것.
• 0 < ε ≪ 1에 대해 $\frac{2d}{d+1}-\epsilon < p < \frac{2d}{d-1}+\epsilon$ 범위로 L^p 확장 이론을 확장하여, 구멍이 난 도메인에서 새로운 Poincaré-Sobolev 부등식을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 주기적 설정에서 보정자와 플럭스 보정자의 정밀한 분석을 통해 오차 추정을 유도하는 것.
• 구멍이 난 도메인의 함수에 대해 $L^p$-유계 확장 연산자를 수립하여, 이전 결과를 2d/(d±1) 근처의 더 넓은 $p$ 범위로 확장하는 것.
• John-Nirenberg 부등식과 $\ln u$에 대한 BMO 추정을 사용하여 진동을 제어하고 쿼런치 $L^p$ 유계를 도출하는 것.
• Shen가 영감을 준 실변수 기법을 적용하여 균질화된 연산자에 대해 쿼런치 Calderón-Zygumund 추정을 증명하는 것.
• 확장된 $L^p$ 이론과 가중치 노름 추정을 사용하여 구멍이 난 도메인에서 국소 Poincaré-Sobolev 부등식을 증명하는 것.
• 강한 단조성, 성장성, $y$에 대한 Hölder 연속성을 만족하는 단조 연산자 $A(y,\xi)$의 구조를 활용하여 해의 존재성과 안정성을 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본 도메인이 비유계인 경우, 비선형 타원형 균질화의 최적 수렴 속도는 무엇인가요?
• RQ2 유한한 구멍이 뚫린 도메인에서 경계층은 수렴 속도에 어떤 영향을 미치며, 이러한 손실은 정량적으로 제어될 수 있는가요?
• RQ3 비선형 타원형 방정식의 해에 대해 대규모 내부 및 경계 리프시츠 추정을 수립할 수 있는가요?
• RQ4 $L^p$ 확장 연산자가 구멍이 난 도메인에서 존재하는 날카운 $p$ 범위는 무엇이며, 이는 이전 결과를 어떻게 확장하는가요?
• RQ5 스토케스틱 균질화의 맥락에서 실변수 기법을 사용하여 비선형 타원형 연산자에 대해 쿼런치 Calderón-Zygumund 추정을 증명할 수 있는가요?

주요 결과

• 기본 도메인이 비유계이자 1주기인 $\varepsilon\omega$에서 비선형 타원형 연산자의 균질화에 대해 날카운 $O(\varepsilon)$ 수렴 속도를 확보하였다.
• 유한한 구멍이 뚫린 도메인에서 경계층 효과로 인해 수렴 속도가 $O(\varepsilon^{1/2})$로 떨어지며, 이는 주어진 가정 하에 최적이 됨을 보였다.
• 0 < ε ≪ 1에 대해 $\frac{2d}{d+1}-\epsilon < p < \frac{2d}{d-1}+\epsilon$ 범위에서 $L^p$ 확장 이론을 수립하여, Sobolev 포함의 임계 지수 근처의 임계 범위로 이전 결과를 확장하였다.
• 확장된 $L^p$ 이론을 사용하여, 대규모 정규성 추정에 필수적인 구멍이 난 도메인에서의 국소 Poincaré-Sobolev 부등식을 도출하였다.
• 대규모 내부 및 경계 리프시츠 추정이 증명되어, $\varepsilon$보다 큰 척도에서 해의 기울기에 대한 제어를 가능하게 하였다.
• 실변수 추론을 통해 쿼런치 Calderón-Zygumund 추정이 확립되었으며, 고전 결과를 비선형 및 스토케스틱 균질화 맥락으로 확장하였다.