[논문 리뷰] Quantum Addition Circuits and Unbounded Fan-Out

Yasuhiro Takahashi, Seiichiro Tani외 1명|arXiv (Cornell University)|2009. 10. 14.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 20인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 보조 큐비트 없이 $O(n)$-깊이, $O(n)$-크기의 최적화된 양자 덧셈 회로를 제안하며, 최소 크기 $7n-6$를 달성한다. 또한 임의의 $d(n) = \Omega(\log n)$에 대해 $O(n/d(n))$개의 보조 큐비트를 사용하여 하위 로그 심도 회로를 일반화된 방법으로 구성한다. 무제한 팬아웃 게이트의 길이가 $O(n^\varepsilon)$일 경우, $O(\log^* n)$-심도와 $o(n)$개의 보조 큐비트를 달성한다. 이 구성은 쇼어의 이산 로그 알고리즘을 위한 더 효율적인 양자 회로를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We first show how to construct an O(n)-depth O(n)-size quantum circuit for addition of two n-bit binary numbers with no ancillary qubits. The exact size is 7n-6, which is smaller than that of any other quantum circuit ever constructed for addition with no ancillary qubits. Using the circuit, we then propose a method for constructing an O(d(n))-depth O(n)-size quantum circuit for addition with O(n/d(n)) ancillary qubits for any d(n)=Ω(log n). If we are allowed to use unbounded fan-out gates with length O(n^c) for an arbitrary small positive constant c, we can modify the method and construct an O(e(n))-depth O(n)-size circuit with o(n) ancillary qubits for any e(n)=Ω(log* n). In particular, these methods yield efficient circuits with depth O(log n) and with depth O(log* n), respectively. We apply our circuits to constructing efficient quantum circuits for Shor's discrete logarithm algorithm.

연구 동기 및 목표

• 보조 큐비트를 사용하지 않으면서 최소 크기와 심도를 갖춘 양자 덧셈 회로를 설계하여 기존 설계를 향상시키는 것.
• 임의의 $d(n) = \Omega(\log n)$에 대해 심도를 조절 가능한 $O(d(n))$-심도와 $O(n/d(n))$개의 보조 큐비트를 사용하는 일반화된 구성 방법을 제안하는 것.
• 작은 길이 $O(n^\varepsilon)$의 무제한 팬아웃 게이트를 활용해 $O(\log^* n)$-심도 회로와 $o(n)$개의 보조 큐비트를 달성하는 방법을 탐색하는 것.
• 향상된 덧셈 회로를 적용하여 쇼어의 이산 로그 알고리즘에서 자원 오버헤드를 줄이는 것.

제안 방법

• 선형 근접 이웃 아키텍처에 최적화된 리플리-캐리 방식을 사용하여 보조 큐비트 없이 $7n-6$-크기, $O(n)$-심도의 양자 덧셈기를 구성한다.
• 리플리-캐리 덧셈기와 캐리- lookahead 논리를 조합하여, 임의의 $d(n) = \Omega\left(\log n\right)$에 대해 $O(n/d(n))$개의 보조 큐비트를 사용하는 $O(d(n))$-심도의 회로를 달성한다.
• 무제한 팬아웃 게이트의 길이가 $O(n^\varepsilon)$인 Chandra 등이 제안한 상수 심도의 고전적 덧셈 회로의 양자 버전을 도입하여 심도를 감소시킨다.
• 무제한 팬아웃 기반의 캐리- lookahead 계산을 위한 빌딩 블록으로 Høyer 등이 제안한 일반화된 Toffoli 연산을 위한 소심도 양자 회로를 사용한다.
• Proos 등이 제안한 쇼어의 이산 로그 알고리즘 구현에서 $O(n)$-심도, $O(n)$-크기의 ADD$_n$ 회로를 새로운 덧셈기로 대체하여 보조 큐비트 사용을 줄인다.
• e(n) = \Omega(\log^* n)일 경우, 수정된 쇼어 알고리즘 회로가 $O(n^2 e(n))$-심도와 $O(n^3)$-크기, $4n + o(n)$ 큐비트를 사용함을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 보조 큐비트 없이 $O(n)$-심도와 크기 $7n-6$를 갖는 양자 덧셈 회로를 구성할 수 있는가?
• RQ2 임의의 $d(n) = \Omega(\log n)$에 대해 심도를 $O(d(n))$로 줄이고 크기는 $O(n)$로 유지하면서 보조 큐비트를 $O(n/d(n))$개만 사용할 수 있는가?
• RQ3 길이 $O(n^\varepsilon)$인 무제한 팬아웃 게이트가 $O(\log^* n)$-심도의 덧셈 회로와 $o(n)$개의 보조 큐비트를 가능하게 할 수 있는가?
• RQ4 새로운 덧셈 회로는 쇼어의 이산 로그 알고리즘에서 큐비트와 심도 오버헤드를 얼마나 줄일 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 $O(n)$-심도, $O(n)$-크기의 덧셈기는 정확히 $7n-6$의 크기를 가지며, 보조 큐비트 없이 이전에 구성된 어떤 덧셈기보다도 작다.
• 임의의 $d(n) = \Omega(\log n)$에 대해, $O(d(n))$-심도, $O(n)$-크기의 덧셈기를 $O(n/d(n))$개의 보조 큐비트를 사용하여 구성할 수 있으며, $d(n) = \log n$일 경우 Takahashi 등이 이전에 제안한 설계의 크기의 절반 이하로 줄일 수 있다.
• 임의의 $\varepsilon > 0$에 대해 길이 $O(n^\varepsilon)$인 무제한 팬아웃 게이트를 사용하면, $O(\log^* n)$-심도, $O(n)$-크기의 덧셈기를 $o(n)$개의 보조 큐비트로 구성할 수 있다.
• 수정된 덧셈기는 쇼어의 이산 로그 알고리즘에서 보조 큐비트 수를 $5n$에서 $4n + o(n)$로 줄였으며, 심도와 크기는 점근적으로 동일하게 유지한다.
• 무제한 팬아웃 게이트의 길이가 $O(\log n)$이면, $o(n)$개의 보조 큐비트로 $O(\log n / \log \log n)$-심도의 회로를 달성하는 데 충분하다는 것이 입증된다.
• 새로운 덧셈 회로는 쇼어의 이산 로그 알고리즘을 더 효율적으로 구현할 수 있도록 하며, $e(n) = \Omega(\log^* n)$일 경우 $O(n^2 e(n))$-심도와 $O(n^3)$-크기를 갖는다.