[논문 리뷰] Quantum algorithm for estimating Renyi entropies of quantum states

Sathyawageeswar Subramanian, Min-Hsiu Hsieh|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 14.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 41인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 한 개의 클리어 큒비트(DQC1) 모델과 양자 특이값 변환을 사용하여 미지의 양자 상태의 $\alpha$-Rényi 엔트로피를 추정하는 양자 알고리즘을 제안한다. 이 알고리즘은 $\epsilon$의 덧셈 정밀도를 달성하기 위해 기대 쿼리 복잡도 $\mathcal{O}(1/(x\epsilon)^2)$를 갖는다. 여기서 $x = \frac{1}{d}\mathrm{Tr}(\rho^\alpha)$이며, 이는 전체 양자 상태 단층 촬영의 $\Theta(d^2/\epsilon^2)$ 표본 복잡도에 비해 상당한 향상이다.

ABSTRACT

We describe a quantum algorithm to estimate the $α$-Renyi entropy of an unknown density matrix $ρ\in\mathcal{C}^{d imes d}$ for $α eq 1$ by combining the recent technique of quantum singular value transformations with the method of estimating normalised traces in the one clean qubit model. We consider an oracular input model where the input state is prepared via a quantum oracle that outputs a purified version of the state, assumed to be non-singular. Our method outputs an estimate of the $α$-Renyi entropy to additive precision $ε$, using an expected total number $O\left(\frac{1}{(xε)^2} ight)$ of independent applications of a quantum circuit which coherently queries the input unitary $O\left(\frac{1}δ\log \frac{d}ε ight)$ times, in each case measuring a single output qubit. Here $δ$ is a lower cutoff on the smallest eigenvalue of $ρ$ and $x=\frac{1}{d}\!\mathop{Tr}{ρ^α}$. The expected number of measurements made in this method can be compared to results in the sample complexity model that generally require $Θ(d^2/ε^2)$ samples. Furthermore, we also show that multiplicative approximations can be obtained by iteratively using additive approximations, with an overhead logarithmic in the dimension $d$.

연구 동기 및 목표

• 미지의 양자 상태에 대한 $\alpha$-Rényi 엔트로피를 추정하는 효율적인 양자 알고리즘을 개발하는 것, 특히 $\alpha \neq 1$의 경우.
• 전체 양자 상태 단층 촬영의 경우 $\Theta(d^2/\epsilon^2)$의 복사본이 필요하므로, 이를 초과하는 표본 복잡도를 감소시키는 것.
• 단일 상태 재구성 없이도 추정이 가능하도록, 유니터리 쿼리 오라클을 통한 밀도 행렬의 순수화된 버전에 대한 오라클 액세스를 활용하는 것.
• 차원 $d$에 대해 로그 오버헤드를 갖는 반복적 사용을 통해 승수 근사치를 얻는 것.
• 깊은 회로를 사용하는 앰플리튜드 추정 기반 방법의 실용적 대안으로, 얕은 회로와 높은 측정 횟수를 사용하여 근접한 양자 장치에 적합한 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 알고리즘은 블록 인코딩 기법을 사용하여 밀도 행렬 $\rho$에 양자 특이값 변환을 적용함으로써 $\mathrm{Tr}(\rho^\alpha)$의 효율적 계산을 가능하게 한다.
• DQC1 모델과 추적 추정을 조합하여 $\mathrm{Tr}(\rho^\alpha)$를 추정하고, 이를 바탕으로 $S_\alpha(\rho) = \frac{1}{1-\alpha}\log\left[\mathrm{Tr}(\rho^\alpha)\right]$를 통해 $\alpha$-Rényi 엔트로피를 계산한다.
• 밀도 행렬의 순수화된 버전을 준비하는 데 사용되는 유니터리 오라클에 액세스할 수 있다고 가정하며, 수치적 안정성을 확보하기 위해 가장 작은 고유값에 하한 $\delta$가 존재한다고 가정한다.
• 덧셈 정밀도 $\epsilon$는 $\mathcal{O}(1/(x\epsilon)^2)$회의 독립적인 양자 회로 적용을 통해 달성되며, 각 실행에서 입력 유니터리 오라클을 $\mathcal{O}(1/\delta \log(d/\epsilon))$번 혼합 쿼리한다.
• 승수 근사치를 얻기 위해 알고리즘은 반복적으로 덧셈 추정기를 사용하며, 최대 $\mathcal{O}(\log(d/\delta))$회의 반복을 통해 런타임이 목표 엔트로피에 대해 로그적으로 의존하도록 보장한다.
• 암시적 추정 기반의 깊은 양자 회로를 피하기 때문에, 얕은 회로와 높은 측정 횟수를 사용하여 NISQ 시대 장치에 적합한 방법이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순수한 양자 상태에 대한 오라클 액세스를 통해 상태 단층 촬영의 복잡도 이하로 $\alpha$-Rényi 엔트로피를 추정할 수 있는가?
• RQ2 이 알고리즘의 쿼리 복잡도는 전체 양자 상태 단층 촬영 또는 앰플리튜드 추정 방법과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ3 DQC1 프레임워크 내에서 반복적인 덧셈 추정기를 사용하여 엔트로피의 승수 근사치를 효율적으로 얻을 수 있는가?
• RQ4 이 방법에서 회로 깊이와 측정 횟수 사이의 상충 관계는 어떻게 되며, 변량 또는 앰플리튜드 추정 방법과 비교해 볼 때 어떠한가?
• RQ5 엔트로피 추정은 DQC1 복잡도 클래스 내에 속하는가, 아니면 $\epsilon$에 대한 역수 스케일링으로 인해 더 어려운가?

주요 결과

• 알고리즘은 $\epsilon$의 덧셈 정밀도로 $\alpha$-Rényi 엔트로피를 추정하며, 기대값으로 $\mathcal{O}(1/(x\epsilon)^2)$회의 양자 회로 적용을 사용한다. 여기서 $x = \frac{1}{d}\mathrm{Tr}(\rho^\alpha)$이다.
• 회로당 쿼리 복잡도는 $\mathcal{O}(1/\delta \log(d/\epsilon))$이며, $\delta$는 $\rho$의 가장 작은 고유값에 대한 하한으로 수치적 안정성을 보장한다.
• 특히 고차원 설정에서 전체 상태 단층 촬영의 $\Theta(d^2/\epsilon^2)$ 표본이 필요한 것에 비해 상당한 향상을 이룬다.
• 승수 근사치는 최대 $\mathcal{O}(\log(d/\delta))$회의 반복을 통해 덧셈 추정기를 반복적으로 사용하여 확보되며, 이로 인해 런타임이 목표 엔트로피의 역수의 제곱에 비례함을 보장한다.
• 알고리즘은 근접한 양자 장치를 고려하여 얕은 회로와 높은 측정 횟수를 사용하도록 설계되어, 깊은 앰플리튜드 추정 회로의 실용적 대안을 제공한다.
• 기대 측정 횟수는 $\mathcal{O}(1/(x\epsilon)^2)$로 스케일링되며, $x$-의존 항에서는 $d$에 대해 독립적이므로 $x$가 너무 작지 않은 경우 효율적이다.