[논문 리뷰] Quantum algorithm for the Navier Stokes equations by using the streamfunction vorticity formulation and the lattice Boltzmann method

Ljubomir Budinski|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 05.

Lattice Boltzmann Simulation Studies참고 문헌 44인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 NISQ 장치에서 2D 나비에-스토크스 방정식을 스트림함수-비도수 formulation과 격자 보울츠만 방법(LBM)을 사용하여 해결하는 새로운 양자 알고리즘을 제안한다. 알고리즘은 표준형 인코딩과 양자 산책을 사용하여 LBM을 초기화, 충돌, 전파, 경계 조건, 매크로스코픽 변수 계산의 양자 단계로 분해하며, 2D 고립류 흐름에 대해 고전적 시뮬레이션과 정확한 일致를 달성한다.

ABSTRACT

A new algorithm for solving the Navier-Stokes equations (NSE) on a quantum device is presented. For the fluid flow equations the stream function-vorticity formulation is adopted, while the lattice Boltzmann method (LBM) is utilized for solving the corresponding system of equations numerically for one time step. Following the nature of the lattice Boltzmann method, the proposed quantum algorithm consists of five major sections: initialization, collision, propagation, boundary condition implementation, and calculation of macroscopic quantities. The collision and boundary condition step is quantumly implemented by applying the standard-form encoding approach, while the quantum walk procedure is applied for the propagation step. The algorithm is implemented by using IBM's quantum computing software development framework Qiskit, while for the verification purposes two-dimensional (2D) cavity flow is simulated and compared with classical code.

연구 동기 및 목표

• 근접한 양자 장치에서 나비에-스토크스 방정식을 해결하기 위한 양자 알고리즘을 개발하기 위해.
• 유체역학의 양자 시뮬레이션에서 수치적 안정성과 효율성을 확보하기 위해 격자 보울츠만 방법(LBM)을 활용하기 위해.
• 충돌, 전파, 경계 조건, 매크로스코픽 변수 계산 등의 LBM 단계를 양자 회로를 사용하여 구현하기 위해.
• 기준 유체 흐름 문제에 대해 고전적 시뮬레이션과의 비교를 통해 양자 알고리즘을 검증하기 위해.
• 특히 상태 준비와 측정 오버헤드에 기인한 양자 알고리즘 효율성의 주요 병목 현상을 규명하고 해결하기 위해.

제안 방법

• 시스템을 연관된 편미분방정식의 집합으로 줄이기 위해 스트림함수-비도수 접근법을 사용하여 나비에-스토크스 방정식을 재구성한다.
• 한 시간 단계 동안 방정식을 이산화하기 위해 D2Q5 격자 구성이 적용된 격자 보울츠만 방법(LBM)을 사용한다.
• 양자 알고리즘은 초기화, 충돌, 전파, 경계 조건 적용, 매크로스코픽 양 계산의 다섯 가지 LBM 단계를 구현한다.
• 충돌 및 경계 조건 단계는 표준형 인코딩과 제어된 유니터리 연산을 사용하여 구현된다.
• 전파 단계는 다중 제어 X 게이트를 사용하는 양자 산책 절차를 통해 실현된다.
• 알고리즘은 16×16 격자로 2D 고립류 흐름을 대상으로 IBM의 Qiskit 프레임워크를 사용하여 구현되고 검증되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 격자 보울츠만 방법은 나비에-스토크스 방정식을 해결하기 위한 양자 알고리즘으로 효과적으로 적응될 수 있는가?
• RQ2 나비에-스토크스 방정식이 기술하는 비선형 유체역학은 안정적이고 효율적인 수치 프레임워크를 사용하여 양자 컴퓨터에서 어떻게 인코딩하고 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ3 각 LBM 단계의 양자 회로 복잡도는 무엇인가? 특히 CNOT 및 다중 제어 게이트 수의 측면에서 말이다.
• RQ4 기준 2D 고립류 흐름 문제에 대해 양자 시뮬레이션 결과는 고전적 해와 어떻게 비교되는가?
• RQ5 현재의 양자 알고리즘 설계에서 주요 확장성 및 효율성 병목 현상은 무엇인가?

주요 결과

• 양자 알고리즘은 비도수 윤곽과 속도 크기에 대해 고전적 결과와 정확한 일致를 보이며 2D 고립류 흐름 문제를 성공적으로 시뮬레이션했다.
• 상태 준비 단계의 총 CNOT 수는 O(2^n)로 증가하며, 이는 복잡도의 주요 원인이다.
• 충돌 및 경계 조건 단계는 시스템 크기와 관계없이 O(1)로 증가하여 이러한 구성 요소에 대한 낮은 오버헤드를 나타낸다.
• 전파 단계는 각 연산자당 O(n)의 다중 제어 X 게이트가 필요하며, 네 개의 R 및 네 개의 L 연산자로 인해 추가적인 큐비트당 여덟 개의 게이트가 필요하다.
• 매크로스코픽 변수 계산 단계는 입력 크기와 독립적이며 추가 게이트가 필요 없어 O(1)로 증가한다.
• 측정 후 양자 상태 붕괴로 인해 시간 단계당 시뮬레이션을 2^2n번 반복해야 한다는 점이 주요 효율성 병목으로 규명되었다.