[논문 리뷰] Quantum Algorithms to Matrix Multiplication

Changpeng Shao|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 05.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 19인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 스왑 테스트, SVE, HHL을 사용하여 행렬 곱셈을 위한 세 가지 양자 알고리즘을 제안하며, 효율적인 양자 입력 및 출력 처리에 중점을 둔다. 스왑 테스트 기반 방법은 어떠한 가정 없이 $Õ(n^2/ε)$ 복잡도를 달성하며, 고전적 데이터에서 양자 상태를 효율적으로 준비함으로써 행렬 곱셈의 입력 문제를 다항 시간 내에 해결한다.

ABSTRACT

In this paper, we study quantum algorithms of matrix multiplication from the viewpoint of inputting quantum/classical data to outputting quantum/classical data. The main target is trying to overcome the input and output problem, which are not easy to solve and many quantum algorithms will encounter, to study matrix operations in quantum computer with high efficiency. And solving matrix multiplication will be the first step. We propose three quantum algorithms to matrix multiplication based on swap test, SVE and HHL. From the point of making fewer assumptions, swap test method works the best than the other two. We also show that the quantum algorithm of matrix multiplication with classical input and output data by swap test achieves the best complexity $\widetilde{O}(n^2/ε)$ with no assumptions. This is proved by giving an efficient quantum algorithm in polynomial time to solve the input problem, that is to prepare the quantum states of the classical data efficiently. Other contributions of this paper include: (1). Extending swap test to a more general form that is suitable to deal with quantum data in parallel, which will have further applications in other matrix operations. (2). Generalizing SVE technique such that it applies to any matrix (not just Hermitian) directly only with quantum data. (3). Proposing two new efficient quantum algorithms to prepare quantum states of classical data, which solves the input problem efficiently than other quantum algorithms.

연구 동기 및 목표

• 고전적 데이터를 양자 상태로, 다시 양자 상태를 고전적 데이터로 변환하는 데서 발생하는 주요 병목 현상으로 인해 양자 행렬 곱셈의 입력 및 출력 문제를 해결하기 위해.
• 양자 및 고전적 데이터 입력과 출력 모두에서 효율적으로 작동하는 양자 알고리즘을 개발하기 위해.
• QRAM과 같은 검증되지 않은 가정에 의존하는 것을 제거하기 위해 고전적 데이터에서 양자 상태를 효율적으로 준비하는 방법을 제공하기 위해.
• 예를 들어 QR, LU와 같은 고전적 행렬 연산을 전체적으로 양자 입력과 출력을 갖는 양자 영역으로 확장하기 위한 기반을 마련하기 위해.

제안 방법

• 원래의 스왑 테스트를 고전적 출력에서 양자 출력으로 확장함으로써 양자-양자 행렬 곱셈을 가능하게 하는 일반화된 스왑 테스트를 제안한다.
• 기존 방법보다 더 낮은 복잡도를 달성하는 고전적 데이터에서 양자 상태를 준비하는 두 가지 새로운 양자 알고리즘을 도입한다.
• 고전적 입력과 양자 출력을 갖는 행렬 곱셈에 스왑 테스트를 적용하여 $Õ(n^2/ε)$ 복잡도를 달성한다.
• 오직 양자 입력 데이터만을 사용하여 비에르미트 행렬에도 적용 가능한 SVE(Singular Value Estimation)의 일반화를 수행한다.
• 양자 입력과 출력을 갖는 행렬 곱셈에 HHL 알고리즘을 적용하지만, 이는 행렬의 조건수에 의존한다.
• 정밀도 $ε$와 조건수 가정 하에서의 복잡도를 분석하여, 이러한 값들이 polylog(n)으로 유계일 경우 다항 시간 내에 해를 구할 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입력과 출력이 모두 양자일 때, QRAM 가정에 의존하지 않고 양자 컴퓨터에서 행렬 곱셈을 효율적으로 수행할 수 있는가?
• RQ2 고전적 데이터가 입력이고 양자 데이터가 출력일 경우, 최적의 양자 알고리즘은 무엇이며, 그 복잡도는 얼마인가?
• RQ3 고전적 데이터에서 양자 상태를 준비하는 과정을 얼마나 효율적으로 만들어야 전체 행렬 곱셈의 복잡도에 지배적인 영향을 주지 않을 수 있는가?
• RQ4 스왑 테스트는 양자-양자 연산을 지원하기 위해 일반화될 수 있는가? 그리고 행렬 곱셈 이외의 응용 분야는 무엇인가?
• RQ5 행렬의 구조와 정밀도에 대한 현실적인 가정 하에서, SVE 및 HHL 기반 접근법의 복잡도는 스왑 테스트 방법보다 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 고전적 입력과 양자 출력을 갖는 스왑 테스트 기반 양자 알고리즘은 어떠한 가정 없이 $Õ(n^2/ε)$ 복잡도를 달성하며, 일반 조건 하에서 가장 효율적이다.
• 제안된 양자 상태 준비 알고리즘(정리 4.1 및 4.2)은 기존 방법보다 더 낮은 복잡도를 달성하며, 특히 정리 4.2는 일반적인 고전적 데이터에 대해 $O(\log n / \epsilon^2)$ 복잡도에 도달한다.
• 행렬의 조건수가 $O(\text{poly} \log n)$로 유계일 경우, SVE 및 HHL 기반 알고리즘 모두 효율적인 성능를 보이지만, 스왑 테스트 방법보다 더 강한 가정을 필요로 한다.
• 입력 문제—고전적 데이터에서 양자 상태를 준비하는 것—은 $n \times n$ 행렬에 대해 $O(n^2)$ 시간 내에 효율적으로 해결될 수 있으며, 이는 행렬 곱셈의 하한선과 일치하므로 수용 가능하다.
• 일반화된 스왑 테스트를 통해 양자-양자 행렬 곱셈이 가능해졌으며, 이는 원래 스왑 테스트의 범위를 확장하고 양자 행렬 연산 분야에서 더 넓은 응용 가능성을 열어준다.
• 이론적 분석을 통해 스왑 테스트 방법이 가정과 복잡도 측면에서 최적임을 확인하였으며, 일반적인 경우에 SVE 및 HHL보다 뛰어나다.