[논문 리뷰] Quantum Alternating Operator Ansatz (QAOA) beyond low depth with gradually changing unitaries

Vladimir Kremenetski, Anuj Apte외 3명|arXiv (Cornell University)|2023. 05. 08.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 얕은 회로를 초월하여 점진적으로 변화하는 매개변수를 가진 양자 교호 연산자 안사지(QAOA)를 분석하기 위해 이산 애디아바틱 정리 프레임워크를 도입한다. 큰 각도에서 성능 저하가 발생하는 이유는 유니터리 고유값의 래핑(_wrap-around_)으로 인한 고유상태 연결성 변화 때문이며, 이는 얕은 회로가 더 깊은 회로보다 성능이 뛰어날 수 있음을 드러내며, 다양한 문제에서 성능도 안정적인 정서적 특성을 보임.

ABSTRACT

The Quantum Approximate Optimization Algorithm and its generalization to Quantum Alternating Operator Ansatz (QAOA) is a promising approach for applying quantum computers to challenging problems such as combinatorial optimization and computational chemistry. In this paper, we study the underlying mechanisms governing the behavior of QAOA circuits beyond shallow depth in the practically relevant setting of gradually varying unitaries. We use the discrete adiabatic theorem, which complements and generalizes the insights obtained from the continuous-time adiabatic theorem primarily considered in prior work. Our analysis explains some general properties that are conspicuously depicted in the recently introduced QAOA performance diagrams. For parameter sequences derived from continuous schedules (e.g. linear ramps), these diagrams capture the algorithm's performance over different parameter sizes and circuit depths. Surprisingly, they have been observed to be qualitatively similar across different performance metrics and application domains. Our analysis explains this behavior as well as entails some unexpected results, such as connections between the eigenstates of the cost and mixer QAOA Hamiltonians changing based on parameter size and the possibility of reducing circuit depth without sacrificing performance.

연구 동기 및 목표

• 점진적으로 변화하는 매개변수 존재 하에 얕은 깊이를 초월한 QAOA 행동 이해.
• 최근의 QAOA 성능도 안에서 관찰된 보편적인 정서적 특성들을 최적화 및 양자 화학 문제 전반에 걸쳐 설명.
• 특히 고유상태 연결성 변화의 역할을 포함한 큰 매개변수 크기에서의 성능 저하 메커니즘 조사.
• 연속적인 애디아바틱 정리를 이산적, 유니터리 기반 QAOA 진동으로 일반화하는 이론적 프레임워크 제공.
• 성능을 유지하면서 회로 깊이를 줄일 수 있는 조건을 규명함으로써 개선된 매개변수 스케줄 설계 가능화.

제안 방법

• 연속적인 해밀토니안 진동이 아닌 점진적으로 변화하는 유니터리의 시퀀스로 QAOA 진동을 모델링하기 위해 이산 애디아바틱 정리 적용.
• 복소 평면의 단위 원 위에서의 고유값 래핑의 수학적 구조와 호로노미 이론을 사용해 비애디아바틱 전이 설명.
• 소규소 갭에서 실패 확률을 추정하기 위해 이산화된 랜도-지너 공식을 사용해 비애디아바틱 전이 특성화.
• 퍼티urbation 이론을 활용해 매개변수가 증가함에 따라 고유상태 연결성 변화 분석, 특히 임계 각도 근처에서의 변화 중심.
• 매개변수 공간을 질서가 다른 행동 영역(예: 애니일링, 릿지, 높음, 낮음)으로 매핑하여 성능도 유도.
• 수치적 및 분석적 도구를 사용해 깊은 QAOA 회로에서의 고유상태 진동 및 성능 추세 예측 검증.

Figure 1: Schematic QAOA performance diagram. The vertical axis characterizes the sum of the pairs of angles’ magnitudes in the QAOA schedule. Shading indicates performance, with lighter shading corresponding to higher performance, e.g., higher overlap with the target state or lower expected cost. T

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 다양한 문제와 성능 지표에서 심지어 깊은 회로 깊이에서도 QAOA 성능도 안의 정서적 형태가 유사하게 나타나는가?
• RQ2 큰 매개변수 크기에서 QAOA 성능도 안의 오른쪽 상단 영역에서 관찰되는 성능 급격한 저하의 원인은 무엇인가?
• RQ3 깊은 QAOA 회로에서 유니터리 고유값의 래핑으로 인해 비용 해밀토니안과 믹서 해밀토니안 간의 고유상태 연결성이 어떻게 변화하는가?
• RQ4 비애디아바틱 효과로 인해 얕은 QAOA 회로가 더 깊은 회로보다 성능이 뛰어날 수 있으며, 이러한 조건은 무엇인가?
• RQ5 성능 저하 없이 회로 깊이를 줄이기 위해 매개변수 크기를 늘릴 수 있는 정도는 어느 정도이며, '릿지' 영역에서의 성능 한계는 무엇에 의해 결정되는가?

주요 결과

• QAOA 도안의 오른쪽 상단 영역에서의 성능 저하는 유니터리 진동에서 발생하는 고유값 래핑으로 인한 고유상태 연결성 재구성과 관련이 있으며, 이로 인해 최종 상태가 비용 해밀토니안의 높은 에너지 상태와 결합됨.
• 비애디아바틱 효과로 인해 큰 매개변수에서 얕은 회로가 더 깊은 회로보다 성능이 뛰어날 수 있으며, 이는 더 깊은 회로가 항상 더 낫다는 가정을 뒤집음.
• 이산 애디아바틱 정리는 QAOA 성능도 안의 보편적인 정서적 행동을 설명하며, 특히 중간 매개변수에서 높은 성능을 보이는 '릿지' 영역 존재를 설명함.
• 릿지 영역의 성능은 고유값 래핑으로 인해 형성되는 최소 갭에 의해 본질적으로 제한되며, 특히 전체 최소 갭이 f=1일 때 관찰되는 바와 같이 양자 화학 문제에서 흔히 나타남.
• 일반적으로 회로 깊이 p를 줄이고 각도 크기 Δ를 늘리되 성능 저하가 미미한 수준에서 수행 가능하여 실용적인 최적화 전략 제공.
• 이 프레임워크는 QAOA 스케줄 설계를 위한 새로운 전략을 가능하게 하며, 예를 들어 고유벡터 교환을 피하기 위해 큰 단계를 사용하거나, 갭을 따라 고유상태를 따라가기 위해 작은 단계를 사용함으로써 애디아바틱성에 대한 단축 경로 가능화.

Figure 2: Performance diagram displaying squared overlap of the QAOA output state with the cost ground state, for the pair of Hamiltonians defined in Eq. 15 .