[논문 리뷰] Quantum and classical spin network algorithms for $q$-deformed Kogut-Susskind gauge theories

Torsten V. Zache, Daniel González-Cuadra외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 04. 05.

Quantum many-body systems참고 문헌 73인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 양자군 변형을 통해 비아벨 게이지 이론의 무한차원 힐베르트 공간을 정규화하는 $q$-변형 쿠거트-수신드 라티스 게이지 이론을 제안한다. 이는 효율적인 텐서 네트워크 시뮬레이션과 확장 가능한 양자 알고리즘을 가능하게 하며, $k=\mathcal{O}(10)$에서 연속체 극한으로 수렴함을 보여주고, 실시간 진화를 위한 해석적 대각화된 트로터 분해를 제공한다.

ABSTRACT

Treating the infinite-dimensional Hilbert space of non-abelian gauge theories is an outstanding challenge for classical and quantum simulations. Here, we introduce $q$-deformed Kogut-Susskind lattice gauge theories, obtained by deforming the defining symmetry algebra to a quantum group. In contrast to other formulations, our proposal simultaneously provides a controlled regularization of the infinite-dimensional local Hilbert space while preserving essential symmetry-related properties. This enables the development of both quantum as well as quantum-inspired classical Spin Network Algorithms for $q$-deformed gauge theories (SNAQs). To be explicit, we focus on SU(2)$_k$ gauge theories, that are controlled by the deformation parameter $k$ and converge to the standard SU(2) Kogut-Susskind model as $k ightarrow \infty$. In particular, we demonstrate that this formulation is well suited for efficient tensor network representations by variational ground-state simulations in 2D, providing first evidence that the continuum limit can be reached with $k = \mathcal{O}(10)$. Finally, we develop a scalable quantum algorithm for Trotterized real-time evolution by analytically diagonalizing the SU(2)$_k$ plaquette interactions. Our work gives a new perspective for the application of tensor network methods to high-energy physics and paves the way for quantum simulations of non-abelian gauge theories far from equilibrium where no other methods are currently available.

연구 동기 및 목표

• 비아벨 게이지 이론의 무한차원 힐베르트 공간을 고전적 및 양자적 환경 모두에서 시뮬레이션하는 데 도전하는 데 대비하기 위해.
• 유한 부분군 절단, 비단위성 플라켓 연산자, 고해상도 큐비트 자원 요구량 등의 기존 정규화 방법의 한계를 극복하기 위해.
• 게이지 대칭성과 단위성을 유지하면서도 변형 매개변수 $k$를 통해 통제 가능한 정규화를 가능하게 하는 형식을 개발하기 위해.
• 비아벨 게이지 이론에서 실시간 진화에 대해 효율적인 텐서 네트워크 시뮬레이션과 확장 가능한 양자 알고리즘을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• SU(2) 리 대수를 $\mathcal{U}_q(\mathfrak{su}(2))$로 대체하여 $q$-변형 쿠거트-수신드(qKS) 라티스 게이지 이론을 수립하며, 이는 $k$로 매개변수화된다.
• 스핀 네트워크 상태를 게이지 불변 기저로 사용하여 가우스 법칙의 정확한 구현과 위상수학적 및 대칭성 성질의 유지가 보장된다.
• 무한 투영된 엔트로피 쌍대 상태(iPEPS) 앵상식을 사용한 변분 기반 기본 상태 시뮬레이션을 통해 2차원 SU(2)$_k$ 게이지 이론을 연구한다.
• 국소 기저 변환을 통한 플라켓 연산자의 해석적 대각화를 유도하여 실시간 진화를 위한 정확한 트로터 분해를 가능하게 한다.
• 제어된 큐디트 게이트를 사용하여 확장 가능한 양자 알고리즘을 구성하며, 보조 큐비트를 활용해 기본 단일 및 이중 큐디트 연산으로 분해한다.
• $F$-행렬 재결합 계수와 양자군 불변량을 활용하여 플라켓 및 전기 에너지 연산자의 행렬 요소를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $q$-변형 쿠거트-수신드 게이지 이론이 비아벨 게이지 이론의 무한차원 힐베르트 공간에 대해 통제 가능한 정규화를 제공할 수 있는가?
• RQ2 $q$-변형 이론의 $k\to\infty$ 극한이 표준 SU(2) 쿠거트-수신드 모델을 재현하는가?
• RQ3 유한한 $k=\mathcal{O}(10)$에서 텐서 네트워크 방법이 연속체 물리학과 정량적 일치를 달성할 수 있는가?
• RQ4 플라켓 상호작용을 해석적으로 대각화하여 실시간 진화를 위한 효율적인 양자 알고리즘을 가능하게 할 수 있는가?
• RQ5 결과로 도출된 양자 알고리즘이 보조 큐디트를 사용해 확장 가능하고 NISQ에 적합한 게이트 시퀀스로 분해될 수 있는가?

주요 결과

• 정확한 단일 플라켓 계산을 통해 $q$-변형 쿠거트-수신드 모델이 $k\to\infty$ 극한에서 표준 SU(2) 쿠거트-수신드 이론으로 수렴함을 확인하였다.
• 변분 기반 iPEPS 시뮬레이션은 $k=\mathcal{O}(10}$에서 기본 상태 에너지 밀도에 대해 연속체 결과와 정량적 일치를 보이며, 연속체 극한에 도달 가능함을 시사한다.
• 스핀 네트워크 레지스터에서 국소 기저 변환을 통해 플라켓 연산자가 해석적으로 대각화되었으며, 이는 실시간 진화를 위한 정확한 트로터 분해를 가능하게 한다.
• 실시간 진화를 위한 양자 알고리즘은 확장 가능하며, 최대 $(k+1)^4$개의 다중제어 큐디트 게이트로 구성되며, 각 게이트는 단일 보조 큐디트를 사용해 최대 $2n+1$개의 기본 얽힘 게이트로 추가로 분해된다.
• 게이트 분해는 현재의 포획 이온 양자 컴퓨팅 아키텍처와 호환되어 근접한 NISQ 장치에서의 구현이 가능하다.
• 해밀토니안의 행렬 요소는 $F$-기호 재결합 계수와 양자군 불변량을 사용해 계산되며, 에너지 밀도에 대해 닫힌 형태의 표현식을 도출한다.