[논문 리뷰] Quantum Commuting Circuits and Complexity of Ising Partition Functions

Keisuke Fujii, Tomoyuki Morimae|2013. 11. 09.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 순간적 양자 다항식 시간(IQP) 회로와 허수 결합 상수를 가진 이징 분할 함수의 계산 복잡도 사이의 직접적인 연결을 수립한다. 저자들은 IQP 출력 확률을 이징 분할 함수로 매핑함으로써, 거의 모든 허수 결합 상수에 대해 이러한 분할 함수의 곱근사가 #P-난이도임을 보여주며, 이는 유한 차수의 평면 격자에서도 성립한다. 이는 IQP가 특정 해법 가능 케이스를 제외하고는 고전적으로 비가역적임을 시사한다.

ABSTRACT

Instantaneous quantum polynomial-time (IQP) computation is a class of quantum computation consisting only of commuting two-qubit gates and is not universal in the sense of standard quantum computation. Nevertheless, it has been shown that if there is a classical algorithm that can simulate IQP efficiently, the polynomial hierarchy (PH) collapses at the third level, which is highly implausible. However, the origin of the classical intractability is still less understood. Here we establish a relationship between IQP and computational complexity of the partition functions of Ising models. We apply the established relationship in two opposite directions. One direction is to find subclasses of IQP that are classically efficiently simulatable in the strong sense, by using exact solvability of certain types of Ising models. Another direction is applying quantum computational complexity of IQP to investigate (im)possibility of efficient classical approximations of Ising models with imaginary coupling constants. Specifically, we show that there is no fully polynomial randomized approximation scheme (FPRAS) for Ising models with almost all imaginary coupling constants even on a planar graph of a bounded degree, unless the PH collapses at the third level. Furthermore, we also show a multiplicative approximation of such a class of Ising partition functions is at least as hard as a multiplicative approximation for the output distribution of an arbitrary quantum circuit.

연구 동기 및 목표

• 통계역학 모델과 연결하여 IQP 계산의 고전적 비가역성의 근본 원인을 밝히는 것.
• 특정 이징 모델의 정확한 해법을 통해 고전적으로 시뮬레이션 가능한 IQP의 부분집합을 식별하는 것.
• 양자 계산 복잡도 이론 도구를 활용해 허수 결합 상수를 가진 이징 분할 함수의 근사화 복잡도를 조사하는 것.
• 양자 난이도 결과를 바탕으로 이러한 분할 함수에 대한 효율적 고전적 근사가 가능한지 여부를 판단하는 것.
• IQP와 이징 모델의 고전적으로 시뮬레이션 가능한 경우와 계산적으로 어려운 경우 사이의 경계를 탐색하는 것.

제안 방법

• 출력 확률의 매핑을 통해 IQP 회로를 허수 결합 상수를 가진 이징 분할 함수로 재구성한다.
• 자기장이 없는 평면 이징 모델의 정확한 해법을 활용해 고전적으로 시뮬레이션 가능한 IQP 부분집합을 식별한다.
• 후성정렬 기법과 post-BQP = PP 정리를 적용하여, 단일 큐비트 회전을 포함한 IQP가 후성정렬 하에 보편적임을 보여준다.
• 근사 유지 감소를 통한 이징 분할 함수의 #P-난이도를 활용해 곱근사의 난이도를 증명한다.
• 양자 복잡도 이론적 감소를 통해 유한 차수의 평면 격자에서 허수 결합 상수를 가진 이징 모델의 복잡도를 분석한다.
• 덧셈 오차를 가진 양자 알고리즘과 실수 이징 모델에 대한 기존 결과와 비교하여 허수 이징 분할 함수의 난이도를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 IQP 회로와 허수 결합 상수를 가진 이징 분할 함수의 계산 복잡도 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ2 어떤 IQP 부분집합이 고전적으로 시뮬레이션 가능하며, 어떤 구조적 특성이 이러한 시뮬레이션 가능성을 가능하게 하는가?
• RQ3 허수 결합 상수를 가진 이징 분할 함수의 곱근사는 고전적으로 처리 가능할 수 있는가?
• RQ4 단일 큐비트 회전의 존재는 IQP 회로의 고전적 시뮬레이션 가능성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 유한 차수의 평면 격자에서 허수 결합 상수를 가진 이징 분할 함수의 근사화 복잡도는 무엇인가?

주요 결과

• 단일 큐비트 회전이 없는 평면 IQP 회로는 평면 이징 모델의 정확한 해법 덕분에 고전적으로 시뮬레이션 가능하다.
• 평면 IQP에 단일 큐비트 회전을 추가하면 후성정렬 하에 보편적이 되며, 이는 PP 문제를 시뮬레이션할 수 있음을 의미한다.
• praticularly, 거의 모든 허수 결합 상수에 대해 이징 분할 함수의 곱근사는 #P-난이도이며, 이는 유한 차수의 평면 격자에서도 성립한다.
• 이 #P-난이도 결과는 동일한 분할 함수에 대해 효율적인 덧셈 오차 양자 알고리즘이 존재하더라도 유지된다.
• 실수 편자성 또는 반편자성 이징 모델의 경우 곱근사가 처리 가능한 반면, 허수 결합 상수의 경우 복잡도가 훨씬 높다.
• 이 결과는 편자성 및 반편자성 이징 모델에 대한 알려진 FPRAS와 대비되며, 허수 결합 사례의 특별한 비가역성을 강조한다.