[논문 리뷰] Quantum complexity phase transitions in monitored random circuits

Ryotaro Suzuki, Jonas Haferkamp외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 05. 24.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 큐비트가 무작위 unitary 진동과 스토하스틱 측정을 겪는 감시된 무작위 회로에서 양자 복잡도를 조사한다. 측정 비율의 임계점 $ p_c = 0.5 $에서 계층 전이를 확인한다: 이 비율 이하에서는 복잡도 시간에 따라 지수적으로 증가한다 ($ e^{\text{poly}(n)} $), 이하에서는 다항식으로 유지된다 ($ \text{poly}(n) $), percolation 이론과 대수기하학 기법을 통해 입증된다.

ABSTRACT

Recently, the dynamics of quantum systems that involve both unitary evolution and quantum measurements have attracted attention due to the exotic phenomenon of measurement-induced phase transitions. The latter refers to a sudden change in a property of a state of $n$ qubits, such as its entanglement entropy, depending on the rate at which individual qubits are measured. At the same time, quantum complexity emerged as a key quantity for the identification of complex behaviour in quantum many-body dynamics. In this work, we investigate the dynamics of the quantum state complexity in monitored random circuits, where $n$ qubits evolve according to a random unitary circuit and are individually measured with a fixed probability at each time step. We find that the evolution of the exact quantum state complexity undergoes a phase transition when changing the measurement rate. Below a critical measurement rate, the complexity grows at least linearly in time until saturating to a value $e^{Ω(n)}$. Above, the complexity does not exceed $\operatorname{poly}(n)$. In our proof, we make use of percolation theory to find paths along which an exponentially long quantum computation can be run below the critical rate, and to identify events where the state complexity is reset to zero above the critical rate. We lower bound the exact state complexity in the former regime using recently developed techniques from algebraic geometry. Our results combine quantum complexity growth, phase transitions, and computation with measurements to help understand the behavior of monitored random circuits and to make progress towards determining the computational power of measurements in many-body systems.

연구 동기 및 목표

• 스토하스틱 측정이 수반된 감시된 무작위 회로에서 양자 복잡도의 변화 양상을 이해하기 위해.
• 측정 비율에 따라 양자 복잡도에 계층 전이가 발생하는지 여부와 위치를 규명하기 위해.
• 대수기하학과 percolation 이론 기법을 활용해 정확한 양자 상태 복잡도에 대한 엄밀한 하한을 설정하기 위해.
• 다체 양자 시스템에서 측정 유도 동역학의 계산 능력을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 측정이 없는 경로를 분석하기 위해 감시된 회로 역학을 정사각형 격자 위의 결합 percolation 문제로 매핑하기 위해.
• Percolation 이론을 사용해 임계 측정 비율 $ p_c = 0.5 $ 이하에서 선형 길이의 측정이 없는 경로가 존재함을 증명하기 위해.
• 대수기하학 도구를 적용해 양자 회로의 접근 가능한 차원을 하한화함으로써 정확한 양자 복잡도에 하한을 설정하기 위해.
• FKG 부등식을 활용해 기울인 격자와 기울지 않은 격자에서의 percolation을 연결하여 임계점의 동등성을 보장하기 위해.
• 무작위 격자에서의 좌우 연결 확률을 이용해 복잡도에 대한 지수적 하한을 유도하기 위해.
• 모든 클러스터가 작다는 것을 보여줌으로써 $ p_c $ 이상에서 복잡도가 $ \text{poly}(n) $로 유한하게 유지됨을 증명하기 위해.

Figure 1: Our setup and the summary of the result.(a) We consider monitored random circuits consisting of two-qubit Haar-random gates (green boxes)arranged in staggered layers, where at each time step the individual qubits undergo a measurementin the computational basis (thick blue points) with prob

실험 결과

연구 질문

• RQ1 감시된 무작위 회로에서의 양자 복잡도는 측정 비율에 따라 계층 전이를 보이는가?
• RQ2 임계 측정 비율 이하 및 초과에서 정확한 양자 복잡도의 스케일링 행동은 어떻게 되는가?
• RQ3 Percolation 이론을 활용해 지수적 복잡도 증가를 지지하는 장거리 측정이 없는 경로를 식별할 수 있는가?
• RQ4 대수기하학은 랜덤 회로의 정확한 양자 복잡도를 하한화하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 측정 유도 상태 리셋은 임계 비율 초과에서 복잡도를 제한하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 양자 복잡도에 계층 전이가 임계 측정 비율 $ p_c = 0.5 $에서 발생하며, 이는 두 가지 다른 역학적 영역를 분리한다.
• 임계 비율 이하에서는 정확한 양자 복잡도가 시간에 대해 최소 선형적으로 증가하며 $ e^{\text{poly}(n)} $에 도달하여 지수적 복잡도를 나타낸다.
• 임계 비율 초과에서는 복잡도가 $ \text{poly}(n) $로 유한하게 유지되며, 이는 효율적인 고전적 시뮬레이션 가능성을 시사한다.
• $ p_c $ 이하에서 $ \Omega(n) $의 측정이 없는 경로 존재는 지수적으로 긴 양자 계산을 가능하게 한다.
• Percolation 이론에 따르면, $ p_c $ 이하에서 높은 확률로 $ \Omega(n) $의 좌우 연결이 존재하며, 이는 지수적 복잡도를 지지한다.
• 임계 비율 초과에서는 모든 열린 클러스터가 높은 확률로 작아지며, 이는 복잡도가 리셋되고 지수적 증가가 방지됨을 의미한다.

Figure 2: A mapping from the bond structure of a monitored random circuit to a percolation model. Each measured and unmeasured bond is mapped to closed (with scissors) and open edge (without scissors), respectively.