[논문 리뷰] Quantum deformation of Feigin-Semikhatov's W-algebras and 5d AGT correspondence with a simple surface operator

Koichi Harada|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 28.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 61인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $υ(N-1,1)$ $υ(\mathfrak{su}(2)$ 임bedding을 통한 Feigin-Semikhatov의 W-대수의 양자 변형을 $υ(\mathfrak{gl}_1$의 두 양자 토로이드 대수를 접합하여 구축한다. 자유장 실현을 수립하고, 이차 관계를 유도하며, $N=3$의 경우에서 위트너 상태의 노름과 단순 표면 연산자를 가진 5차원 순간자 분할 함수 사이의 일치를 확인함으로써 5차원 AGT 대응관계에 대한 증거를 제시한다.

ABSTRACT

The quantum toroidal algebra of $gl_1$ provides many deformed W-algebras associated with (super) Lie algebras of type A. The recent work by Gaiotto and Rapcak suggests that a wider class of deformed W-algebras including non-principal cases are obtained by gluing the quantum toroidal algebras of $gl_1$. These algebras are expected to be related with 5d AGT correspondence. In this paper, we discuss quantum deformation of the W-algebras obtained from $\widehat{su}(N)$ by the quantum Drinfeld-Sokolov reduction with su(2) embedding [N-1,1]. They were studied by Feigin and Semikhatov and we refer to them as Feigin-Semikhatov's W-algebras. We construct free field realization and find several quadratic relations. We also compare the norm of the Whittaker states with the instanton partition function under the presence of a simple surface operator in the N=3 case.

연구 동기 및 목표

• 양자 토로이드 대수를 사용하여 $υ(N-1,1)$ $υ(\mathfrak{su}(2)$ 임bedding에 대한 Feigin-Semikhatov의 W-대수의 양자 변형을 구축하는 것.
• Gaiotto-Rapčák의 프레임워크를 $υ(\mathfrak{gl}_1$의 두 양자 토로이드 대수의 접합을 통해 q-변형된 경우로 확장하는 것.
• 변형된 W-대수에 대한 자유장 실현을 수립하고, 이차 관계를 도출하는 것.
• 단순 표면 연산자가 존재하는 상황에서 위트너 상태의 노름과 5차원 순간자 분할 함수를 비교하는 것.
• 특히 $N=3$의 경우에서 이 비교를 통해 5차원 AGT 대응관계에 대한 증거를 제공하는 것.

제안 방법

• 변형된 W-대수의 통합 프레임워크로 $υ(\mathfrak{gl}_1$의 양자 토로이드 대수(Ding-Iohara-Miki 대수)를 사용한다.
• $U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}_2)$를 $υ(\mathfrak{gl}_1$의 두 양자 토로이드 대수로 분해하여 변형된 버전의 장 연산자를 구성함으로써, $N=2$의 경우로부터 일반화한다.
• 접합 구조를 적용하여 Gaiotto-Rapčák의 Y-대수 프레임워크를 q-변형된 설정으로 상향시킨다.
• 연산자 곱 전개와 $f(w/z)$를 포함한 브레이딩 인자들을 사용하여 변형된 전류 $\mathscr{E}'_N(z)$에 대한 이차 관계를 도출한다.
• 귀납법과 델타 함수 항등식을 활용하여 일반적인 $N$에 대해 관계 (4.46)을 증명하며, $N$-사례의 가정에 의존한다.
• 특성 일치와 상태 정규화를 통해 위트너 상태의 노름과 5차원 순간자 분할 함수를 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 $υ(\mathfrak{gl}_1$의 양자 토로이드 대수를 사용하여 $[N-1,1]$ $υ(\mathfrak{su}(2)$ 임bedding에 대한 Feigin-Semikhatov의 W-대수를 양자 변형할 수 있는가?
• RQ2 양자 토로이드 대수의 접합 구조가 변형된 W-대수의 구조와 그 자유장 실현을 재현할 수 있는가?
• RQ3 변형된 전류가 $N$-사례에서 만족하는 명시적 이차 관계는 무엇인가?
• RQ4 변형된 W-대수에서 위트너 상태의 노름이 단순 표면 연산자가 존재하는 5차원 순간자 분할 함수와 일치하는가?
• RQ5 어떻게 $N=3$의 경우에서 이 일치를 통해 5차원 AGT 대응관계가 확인되는가?

주요 결과

• Feigin-Semikhatov의 W-대수의 양자 변형이 $υ(\mathfrak{gl}_1$의 두 양자 토로이드 대수의 접합을 통해 성공적으로 구축되었으며, 이는 $N=2$의 경우로부터 일반화된 것이다.
• 변형된 W-대수에 대한 자유장 실현이 수립되어 보스온 장들에 기반한 구체적인 표현을 제공한다.
• 변형된 전류 $\mathscr{E}'_N(z)$에 대한 이차 관계가 유도되었으며, 귀납법을 통해 증명되었으며, 핵심 관계 (4.46)이 모든 $N$에 대해 성립한다.
• $N=3$의 경우에서 위트너 상태의 노름이 단순 표면 연산자가 존재하는 5차원 순간자 분할 함수와 정확히 일치한다.
• 브레이딩 인자 $f(w/z)$와 델타 함수 항등식을 활용하여 교차항이 상쇄됨을 확인함으로써, 대수적 구조의 일관성이 입증된다.
• 이 결과들은 변형된 대수적 분할 함수와 물리적 분할 함수의 일치를 통해 표면 연산자가 존재하는 상황에서 5차원 AGT 대응관계에 대한 강력한 증거를 제공한다.