[논문 리뷰] Quantum field theory of a free massless (pseudo)scalar field in 1+1-dimensional space-time as a test for the massless Thirring model

M. Faber, A. N. Ivanov|ArXiv.org|2002. 06. 27.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 4인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 콜먼의 정리와 1+1차원 양자장론에서 골드스톤 보손의 존재 사이의 갈등을 해결한다. 자유 질량이 없는 (양성자)스칼라 장의 양자장론은 위트만의 관측량을 $\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$에 속하는 시험 함수로 제한할 경우 잘 정의되어 있으며, 이는 영모드를 제외하기 때문이다. 이러한 선택은 적외색 발산을 제거하고, 자발적 대칭성 붕괴를 유지하며, 비영인 자발적 자화를 가능하게 하여, 공리적, 전류 대수, 경로적분 접근법을 조화롭게 한다.

ABSTRACT

We analyse different approaches to the description of the quantum field theory of a free massless (pseudo)scalar field defined in 1+1-dimensional space-time which describes the bosonized version of the massless Thirring model. These are (i) axiomatic quantum field theory, (ii) current algebra and (iii) path-integral. We show that the quantum field theory of a free massless (pseudo)scalar field defined on the class of Schwartz's test functions S_0(R^2) connects all these approaches. This quantum field theory is well-defined within the framework of Wightman's axioms and Wightman's positive definiteness condition. The physical meaning of the definition of Wightman's observables on the class of test functions from S_0(R^2) instead of S(R^2), as required by Wightman's axioms, is the irrelevance of the collective zero-mode related to the collective motion of the ``center of mass'' of the free massless (pseudo)scalar field, which can be deleted from the intermediate states of correlation functions (Eur. Phys. J. C 24, 653 (2002)). In such a theory the continuous symmetry, induced by shifts of the massless (pseudo)scalar field, is spontaneously broken and there is a non-vanishing spontaneous magnetization. The obtained results are discussed in connection with Coleman's theorem asserting the absence of Goldstone bosons and spontaneously broken continuous symmetry in quantum field theories defined in 1+1-dimensional space-time.

연구 동기 및 목표

• 1+1차원 양자장론에서 콜먼의 정리와 골드스톤 보손의 존재 사이의 명백한 모순을 해결하기 위해.
• 위트만의 관측량이 $\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$에 속하는 시험 함수로 제한될 경우, 자유 질량이 없는 (양성자)스칼라 장의 양자장론이 잘 정의되어 있음을 보여주기 위해.
• 무질량 티링 모델과 그 보존화된 형태의 맥락에서 공리적 양자장론, 전류 대수, 경로적분 접근법을 조화시키기 위해.
• 영모드가 제외될 경우 질량이 없는 골드스톤 보손이 없음에도 자발적 대칭성 붕괴와 비영인 자발적 자화가 일관됨을 보여주기 위해.

제안 방법

• 영모드를 제외한 $\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$의 시험 함수를 사용하여 위트만의 공리와 양의 정규성 조건의 형식적 분석.
• 모멘텀 공간에서 위트만 함수 $D^{(+)}(x-y;\mu)$의 평가를 통해 $\tilde{h}(0) = 0$일 경우 적외색 발산이 사라짐을 보여줌.
• 빛의 경로 변수인 $k_+, k_-$를 사용하여 노름 $||h||^2$를 $k_+$에 대한 적분으로 표현하며, $\tilde{h}(k_+,0) = 0$일 경우 유한해짐을 보임.
• 중간 상태의 상관 함수 분석을 위해 코시-슈바르츠 부등식을 적용하여 영모드 기여를 제거할 수 있음을 보이며, 물리적 진화에 영향을 주지 않음.
• 공리적 QFT, 전류 대수, 경로적분 방법의 결과를 비교하여, $\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$로 제한될 경우 일관됨을 보임.
• 무질량 티링 모델의 보존화된 형태가 비틀림 대칭성 붕괴를 겪으며, 자발적 자화 $\mathcal{M} = 1$과 연결된 비영인 페르미온 조건자량을 나타냄.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1+1차원에서 자유 질량이 없는 (양성자)스칼라 장 이론이 적외색 발산이 존재함에도 불구하고 위트만의 공리에 잘 정의될 수 있는가?
• RQ2 영모드가 $\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$ 시험 함수를 통해 제외될 경우, 콜먼의 정리와 자발적 대칭성 붕괴 사이의 갈등이 해결되는가?
• RQ3 적외색 발산이 제거되었을 때, 공리적, 전류 대수, 경로적분 접근법이 무질량 티링 모델의 보존화된 형태와 어떻게 조화를 이룰 수 있는가?
• RQ4 위트만 관측량을 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^2)$ 대신 $\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$에 정의하는 데 물리적 의미는 무엇인가?
• RQ5 1+1차원에서 골드스톤 보손이 없음에도 자발적 자화 $\mathcal{M} = 1$은 일관된가?

주요 결과

• 관측량이 $\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$에 정의될 경우, 자유 질량이 없는 (양성자)스칼라 장의 양자장론은 위트만의 공리에 잘 정의되어 있으며, $\tilde{h}(0) = 0$로 인해 노름 $||h||^2$의 적외색 발산이 사라지기 때문이다.
• 영모드를 제외한 $\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$를 사용하는 물리적 해석은 중심질량 운동과 관련된 집합적 영모드의 무시 가능성을 의미하며, 이는 상관 함수의 중간 상태에서 제거될 수 있다.
• 연속적인 이동 대칭성 $\vartheta(x) \to \vartheta(x) + \alpha$의 자발적 붕괴가 발생하여 비영인 자발적 자화 $\mathcal{M} = 1$이 나타난다.
• 이 이론은 $\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$에서 위트만의 양의 정규성 조건을 만족하여, 이로 인해 위트만이 1+1차원에서 그러한 장이 존재하지 않는다고 결론 내린 일관성 없는 문제를 해결한다.
• 영모드가 제외될 경우 콜먼의 골드스톤 보손에 대한 논거가 실패하며, 이는 $\tilde{h}(0) \neq 0$라는 가정에 의존하기 때문이다. 이 가정은 $\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$에서는 위배된다.
• 비틀림 대칭성이 붕괴된 상태의 무질량 티링 모델의 보존화된 형태는 이 이론으로 일관되게 기술되며, $\mathcal{M} = 1$에서 기인한 비영인 페르미온 조건자량이 나타난다.