[논문 리뷰] Quantum groups with projection and extensions of locally compact quantum groups

Paweł Kasprzak, Piotr M. Sołtan|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 02.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 24인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 컴act한 양자군에서의 프로젝션을 갖는 경우, Vainerman과 Vaes의 정의에 따라 확장이 되는지의 조건을 규명한다. 코이델의 코대칭성과 정규 코이델 개념을 사용하여, 이러한 양자군은 일반적으로 확장이 아니며, 핵심 조건은 브레인디드 양자군 성분의 가환성임을 보여준다. 결과는 U_q(2)와 양자 'az+b' 군을 포함한 예시를 통해 설명된다.

ABSTRACT

The main result of the paper is the characterization of those locally compact quantum groups with projection, i.e. non-commutative analogs of semidirect products, which are extensions as defined by L. Vainerman and S. Vaes. It turns out that quantum groups with projection are usually not extensions. We discuss several examples including the quantum $\mathrm{U}_q(2)$. The major tool used to obtain these results is the co-duality for coideals in algebras of functions on locally compact quantum groups and the concept of a normal coideal.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 컴팩트한 양자군이 프로젝션을 갖는 경우, Vainerman과 Vaes가 정의한 바에 따라 확장이 되는 정확한 조건을 규명하는 것.
• 프로젝션을 갖는 양자군의 개념과 국소적으로 컴팩트한 양자군 이론에서의 확장 개념 간의 관계를 명확히 하는 것.
• 프로젝션을 갖는 양자군에서 나타나는 브레인디드 양자군 구조가 확장 프레임워크 내에서 진정한 양자군이 되는 데 필요한 조건을 충족하는지 조사하는 것.
• 코대수적 도구를 사용하여 프로젝션을 갖는 양자군가 확장임을 완전히 규명하는 것.
• U_q(2)와 양자 'az+b' 군을 포함한 구체적 예시를 분석하여, 그것들이 언제 확장이 되는지 규명하는 것.

제안 방법

• 국소적으로 컴팩트한 양자군의 함수 대수에서 코이델에 대한 코대칭성을 사용하며, 이는 이전 연구에서 도입된 코이델과 양자부군 간의 관계를 규명하는 데 쓰인 도구이다.
• 정규 코이델과 강력 정규 코이델의 개념을 도입하고 분석하여, 프로젝션을 갖는 양자군의 대수적 구조를 규명한다.
• 유니터리 쌍대항과 스케일링 군을 사용하여 코이델의 불변성 성질을 연구하고, 이를 양자군의 대칭성과 쌍대성과 연결한다.
• 폰 노이만 대수의 프레임워크를 사용하여 양자군과 그 쌍대를 동일한 힐버트 공간 L²(G) 위에 표현함으로써, 모듈러 콜레지션 J와 ŴJ의 사용이 가능해진다.
• GNS 구성과 폰 노이만 대수의 모듈러 이론을 사용하여 모듈러 콜레지션과 유니터리 쌍대항을 정의하고 분석한다.
• 양자군과 그 쌍대 간의 쌍대성을 적용하여, 특히 브레인디드 양자군의 고정점 대수와 프로젝션의 군대수 간의 부분대수의 가환성을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적으로 컴팩트한 양자군이 프로젝션을 갖는 경우, Vainerman과 Vaes의 정의에 따라 확장이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 프로젝션을 갖는 양자군에서 나타나는 브레인디드 양자군 구조는 항상 확장 프레임워크 내에서 진정한 양자군인가?
• RQ3 양자군 U_q(2)가 원주군 T의 확장이 되는 경우, 변형 매개수 q의 값은 무엇인가?
• RQ4 양자 'az+b' 군이 그 승법 부분군 Γ_q의 확장이 되는 경우는 언제인가?
• RQ5 고정점 부분대수(=SU_q(2)와 동형)와 T의 군대수 간의 가환성은 U_q(2)가 확장이 되는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 프로젝션을 갖는 양자군이 확장이 되는 것은 고정점 부분대수(=SU_q(2)와 동형)와 프로젝션의 군대수(L∞(T))가 U_q(2)의 전체 함수 대수 내에서 가환할 때에만 가능하다.
• 양자군 U_q(2)가 T의 확장이 되는 것은 변형 매개수 q가 실수일 때에만 가능하며, 이는 SU_q(2)가 컴팩트 양자군임과 동치이다.
• 양자 'az+b' 군의 경우, Γ_q의 확장이 되는 조건은 q = 1일 때에만 성립하며, 이는 군이 고전적일 때를 의미한다.
• 프로젝션을 갖는 양자군과 관련된 브레인디드 양자군은 q = 1일 때에만 진정한 양자군이 되며, 일반적으로는 양자군의 구조가 실패함을 의미한다.
• 프로젝션을 갖는 양자군에서 정규부군이 존재하지 않을 경우에도 '정규성'이라는 성질을 갖는 코이델이 여전히 존재함을 보여주며, 이는 더 약하지만 관련된 구조임을 시사한다.
• 확장이 되는 데 있어 핵심적인 장애물은 고정점 부분대수와 프로젝션의 군대수 간의 비가환성으로, 이는 U_q(2)에서 비실수 q일 경우에 실패한다.