[논문 리뷰] Quantum Interior Point Methods for Semidefinite Optimization

Brandon Augustino, Giacomo Nannicini외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 12. 11.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 74인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양자 선형 시스템 알고리즘을 활용하여 준선형계획법(SDO)을 위한 두 가지 양자 내부점법(QIPM)을 제안한다. 첫 번째 방법은 타당성을 보장하지 않으며, 근사된 탐색 방향을 계산한다. 두 번째 방법은 영공간 표현을 사용하여 근사된 방향이더라도 타당성을 유지할 수 있도록 하여 하이브리드 양자-고전적 구현이 가능하게 한다. 두 방법 모두 표준 가정 하에 최적 해로 다항수렴을 보이며, 두 번째 방법은 문제 차원 $ n $ 에서 양자 가속을 제공하지만 다른 매개변수에 대한 의존도는 악화된다.

ABSTRACT

We present two quantum interior point methods for semidefinite optimization problems, building on recent advances in quantum linear system algorithms. The first scheme, more similar to a classical solution algorithm, computes an inexact search direction and is not guaranteed to explore only feasible points; the second scheme uses a nullspace representation of the Newton linear system to ensure feasibility even with inexact search directions. The second is a novel scheme that might seem impractical in the classical world, but it is well-suited for a hybrid quantum-classical setting. We show that both schemes converge to an optimal solution of the semidefinite optimization problem under standard assumptions. By comparing the theoretical performance of classical and quantum interior point methods with respect to various input parameters, we show that our second scheme obtains a speedup over classical algorithms in terms of the dimension of the problem $n$, but has worse dependence on other numerical parameters.

연구 동기 및 목표

• 준선형계획법(SDO)을 가속화하는 양자 알고리즘을 개발하는 것 — 이는 볼록 최적화 분야의 기본 문제이며 광범위한 응용을 가진다.
• 최근의 양자 선형 시스템 해법의 발전을 활용하여 고전적 내부점법(IPM)을 양자 영역으로 확장하는 것.
• 근사된 탐색 방향이더라도 반복 해가 타당성을 유지하는 새로운 양자 기법을 설계하여 실용적인 하이브리드 양자-고전적 구현을 가능하게 하는 것.
• 제안된 양자 IPM의 이론적 복잡도를 분석하고 고전적 대안과 비교하는 것.
• 표준 내부점법 가정 하에 두 양자 계획의 다항수렴을 확립하는 것.

제안 방법

• 첫 번째 방법인 비정확-타당 QIPM(IF-QIPM)은 고전적 IPM과 유사하게 양자 선형 시스템 알고리즘을 사용해 비정확한 탐색 방향을 계산하지만, 반복 과정에서 타당성을 강제하지는 않는다.
• 두 번째 방법인 비정확-비타당 QIPM(II-QIPM)은 뉴턴 시스템의 영공간 표현을 사용하여 비정확한 방향을 타당 공간으로 투영함으로써, 근사 오차가 존재하더라도 반복 해가 타당성을 유지하도록 보장한다.
• II-QIPM은 뉴턴 시스템을 표현하기 위해 블록 인코딩 기법을 사용하고, 양자 확률 추정(토모그래피)을 적용해 양자 상태에서 해 성분을 추출한다.
• 이 알고리즘들은 오차 한계가 $ \gamma_1, \gamma_2 $ 를 통해 제어되는 양자 선형 시스템 해법에 기반하며, 표준 IPM 가정 하에 수렴 보장이 가능하다.
• 뉴턴 시스템은 대칭화되어 있으며, 낮은 랭크 구조와 조건수 $ \kappa $ 를 활용하는 양자 알고리즘을 통해 해결되며, 복잡도는 $ n $, $ \mu_0 $, $ \epsilon $ 에 따라 달라진다.
• 양자 오차 추정과 행렬 노름 부등식을 이용해 이중성 갭과 비타당성을 경계함으로써 수렴을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 알고리즘이 준선형계획법을 위한 고전적 내부점법보다 가속을 달성할 수 있는가?
• RQ2 근사된 양자 계산을 통한 탐색 방향 계산에도 불구하고 반복 해의 타당성을 유지할 수 있는 양자 IPM을 설계할 수 있는가?
• RQ3 준선형계획법을 위한 양자 내부점법의 이론적 복잡도는 무엇이며, 문제 차원 $ n $ 과 조건수 $ \kappa $ 에 대해 고전 알고리즘과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ4 뉴턴 시스템의 영공간 표현이 하이브리드 양자-고전 아키텍처에서 효과적으로 구현되어 타당성을 보장할 수 있는가?
• RQ5 문제 차원 $ n $ 에서의 양자 가속과 $ \kappa $, $ \mu_0 $, $ \epsilon $ 등의 다른 매개변수에 대한 의존도 악화 사이의 상충 관계는 무엇인가?

주요 결과

• II-QIPM은 표준 가정 하에 문제 차원 $ n $ 에서 $ \mathcal{O}(\sqrt{n}) $ 의 복잡도를 가지며, 고전적 방법의 $ \mathcal{O}(n) $ 과 비교해 양자 가속을 달성한다.
• IF-QIPM과 II-QIPM 모두 $ \epsilon $-최적 해로 다항 시간 내에 수렴하며, 수렴 속도는 $ \theta_k $, $ \mu_0 $, $ \kappa $ 에 따라 달라진다.
• II-QIPM은 영공간 표현을 사용함으로써 비정확한 탐색 방향이더라도 반복 해의 타당성을 보장하며, 이는 하이브리드 양자-고전 계산에 매우 적합한 새로운 접근법이다.
• 문제 차원 $ n $ 에서의 양자 가속은 다른 매개변수에 대한 악화된 의존도로 인해 비용이 발생한다: II-QIPM은 $ \mathcal{O}(\kappa^2) $ 의 의존도를 가지며, 이는 고전 알고리즘보다 열 劣하다.
• 이중성 갭은 $ \mathcal{O}(n\theta_k\mu_0) $ 로 경계되며, 비타당성은 오차 항 $ \delta $ 와 $ \beta $ 를 통해 제어되며, 이 두 항 모두 $ \mathcal{O}(n^2\theta_k\mu_0) $ 로 나타나 있다.
• 분석을 통해 양자 확률 추정과 블록 인코딩 기법을 사용해 양자 상태에서 오차가 제한된 해를 추출할 수 있으며, 이는 증명 가능한 수렴성을 가진 양자 IPM 설계를 가능하게 한다.