[논문 리뷰] Quantum linear system solver based on time-optimal adiabatic quantum computing and quantum approximate optimization algorithm

Dong An, Lin Lin|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 12.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 44인용 수 85

한 줄 요약

이 논문은 시간 최적화된 애디아바틱 양자 계산(AQC) 프레임워크와 그 변종을 제안하며, 양자 근사 최적화 알고리즘(QAOA)을 통해 양자 선형계(QLSP)를 near-optimal 복잡도로 해결한다. 조정 가능한 함수를 사용해 애디아바틱 경로를 재스케줄링함으로써, 일반적인 비에르미트 행렬에 대해 O(𝜅poly(log(𝜅/𝜖))) 런타임을 달성하여 복잡한 앰플리튜드 증폭 기법이 필요 없게 되었으며, 수치 실험에서 기존 AQC 및 랜덤화 방법보다 뛰어난 성능을 보였다.

ABSTRACT

We demonstrate that with an optimally tuned scheduling function, adiabatic quantum computing (AQC) can readily solve a quantum linear system problem (QLSP) with $\mathcal{O}(\kappa~ ext{poly}(\log(\kappa/\epsilon)))$ runtime, where $\kappa$ is the condition number, and $\epsilon$ is the target accuracy. This is near optimal with respect to both $\kappa$ and $\epsilon$. Our method is applicable to general non-Hermitian matrices, and the cost as well as the number of qubits can be reduced when restricted to Hermitian matrices, and further to Hermitian positive definite matrices. The success of the time-optimal AQC implies that the quantum approximate optimization algorithm (QAOA) with an optimal control protocol can also achieve the same complexity in terms of the runtime. Numerical results indicate that QAOA can yield the lowest runtime compared to the time-optimal AQC, vanilla AQC, and the recently proposed randomization method.

연구 동기 및 목표

• 시간 최적화된 애디아바틱 양자 계산(AQC) 기법을 개발하여, 향상된 런타임 복잡도로 양자 선형계 문제(QLSP)를 해결하는 것.
• 실행이 어려운 복잡한 앰플리튜드 증폭 기법(예: 가변 시간 앰플리튜드 증폭(VTAA))에 의존하는 것을 제거하는 것.
• 최적 제어 프로토콜을 사용할 경우 QAOA가 시간 최적화 AQC와 동일한 near-optimal 복잡도를 달성할 수 있음을 보여주는 것.
• 희박한 행렬과 상태 준비를 위한 표준 쿼리 모델을 사용하여 게이트 효율적인 구현을 제공하는 것.
• 수치적으로 QAOA가 AQC 변종 및 경쟁 방법들 중에서 가장 낮은 런타임을 기록함을 검증하는 것.

제안 방법

• 시간 최적화된 진동을 위해 p ∈ (1,2)인 AQC(p) 및 지수적 스케줄링을 사용하는 AQC(exp) 스케줄링 함수를 제안하여 애디아바틱 경로를 재스케줄링함.
• 애디아바틱 경로를 따라 에너지 갭 정보를 활용해 시간 최적화된 진동을 설계함으로써 조건수 𝜅 및 정확도 𝜖에 대한 런타임 의존도를 감소시킴.
• 유사한 애디아바틱 동역학 시뮬레이션을 위해 잘린 딜론 급수를 적용하여, AQC(p)의 경우 쿼리 복잡도를 O(d𝜅/𝜖 log(d𝜅/𝜖))로, AQC(exp)의 경우 O(d𝜅 poly log(d𝜅/𝜖))로 달성함.
• AQC와 QAOA 간의 밀접한 관계를 활용하여, 최적 제어를 적용한 QAOA가 시간 최적화 AQC와 동일한 런타임 복잡도를 달성할 수 있음을 보임.
• 표준 쿼리 모델(희박한 행렬 액세스 및 |b⟩의 상태 준비 오라클)을 활용하여 게이트 효율적인 구현을 가능하게 함.
• 에르미트 양의 정부호 및 비에르미트 행렬에 대해 수치적으로 성능를 평가하며, AQC(p), AQC(exp), QAOA, RM 및 기존 AQC를 비교함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복잡한 앰플리튜드 증폭에 의존하지 않고도, QLSP에 대해 시간 최적화된 애디아바틱 양자 계산을 통해 near-optimal 런타임 복잡도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 어떤 스케줄링 함수가 AQC의 O(𝜅poly(log(𝜅/𝜖))) 런타임 스케일링을 가능하게 하는가? 기존 방법들과 비교해 볼 때 어떻게 되는가?
• RQ3 최적 제어 프로토콜을 사용할 경우, 양자 근사 최적화 알고리즘(QAOA)이 시간 최적화 AQC와 동일한 복잡도 스케일링을 유도할 수 있는가?
• RQ4 𝜅와 𝜖에 대한 런타임 및 스케일링 면에서 QAOA의 성능은 AQC 변종 및 랜덤화 방법(RM)과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ5 AQC(p), AQC(exp), QAOA의 수치적 스케일링 행동은 다양한 행렬 유형과 매개변수 영역에서 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• AQC(p) 방법은 1 < p < 2일 때 O(𝜅/𝜖) 런타임 복잡도를 달성하며, 랜덤화 방법(RM)이 O(𝜅 log 𝜅 / 𝜖)로 스케일링하는 것과 비교해 𝜅에 대한 로그 인자 없이 성능 향상을 보임.
• AQC(exp) 방법은 O(𝜅 poly(log(𝜅/𝜖))) 런타임을 달성하며, 𝜅와 𝜖 양쪽에 대해 near-optimal이며, 𝜅에 대한 사전 지식이 필요하지 않음.
• 수치 결과에 따르면 QAOA가 테스트된 모든 방법 중에서 가장 낮은 런타임을 기록하며, 정확도에 대해 O(log^1.5(1/𝜖)) 스케일링을 보이며, 작은 𝜖일 경우 AQC(exp)조차도 앞서는 성능을 보임.
• 조건수 𝜅에 대해 QAOA는 약 O(𝜅^0.89)의 스케일링을 보이며, AQC(exp)는 O(𝜅^0.93), AQC(p)는 O(𝜅^1.05)로 나타나 near-linear 의존도를 보임.
• 𝜖이 충분히 작을 경우 AQC(exp)가 AQC(p)를 능가함을 확인하여, 1/𝜖에 대한 다항 로그 의존도를 확인함.
• 최적 매개변수를 찾을 경우 QAOA의 런타임이 AQC(exp)보다 작음을 확인함으로써, QAOA 동역학이 엄밀히 애디아바틱 경로를 따르지 않음을 시사하며, 비애디아바틱 이점을 보여 줌.