[논문 리뷰] Quantum Lower Bounds for Approximate Counting via Laurent Polynomials

Scott Aaronson, Robin Kothari외 2명|DROPS (Schloss Dagstuhl – Leibniz Center for Informatics)|2019. 04. 18.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 라우렌트 다항식을 사용하여 근사 수세기의 최적 양자 하한을 확립한다. QMA 환경에서, 양자 증인은 반드시 Ω(|S|) 큐비트이거나, 쿼리 복잡도는 Ω(√(N/|S|))여야 한다. 또한 Q샘플링 또는 Q샘플링에 대한 유니터리 액세스가 가능하더라도 동일한 쿼리 또는 샘플 복잡도 하한이 유지됨을 보이며, SBP와 QMA 사이의 오라클 분리 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We study quantum algorithms that are given access to trusted and untrusted quantum witnesses. We establish strong limitations of such algorithms, via new techniques based on Laurent polynomials (i.e., polynomials with positive and negative integer exponents). Specifically, we resolve the complexity of approximate counting, the problem of multiplicatively estimating the size of a nonempty set $S \subseteq [N]$, in two natural generalizations of quantum query complexity. Our first result holds in the standard Quantum Merlin--Arthur ($\mathsf{QMA}$) setting, in which a quantum algorithm receives an untrusted quantum witness. We show that, if the algorithm makes $T$ quantum queries to $S$, and also receives an (untrusted) $m$-qubit quantum witness, then either $m = Ω(|S|)$ or $T=Ω\bigl(\sqrt{N/\left| S ight| } \bigr)$. This is optimal, matching the straightforward protocols where the witness is either empty, or specifies all the elements of $S$. As a corollary, this resolves the open problem of giving an oracle separation between $\mathsf{SBP}$, the complexity class that captures approximate counting, and $\mathsf{QMA}$. In our second result, we ask what if, in addition to a membership oracle for $S$, a quantum algorithm is also given "QSamples" -- i.e., copies of the state $\left| S ight angle = \frac{1}{\sqrt{\left| S ight| }} \sum_{i\in S}|i angle$ -- or even access to a unitary transformation that enables QSampling? We show that, even then, the algorithm needs either $Θ\bigl(\sqrt{N/\left| S ight| }\bigr)$ queries or else $Θ\bigl(\min \bigl\{\left| S ight| ^{1/3}, \sqrt{N/\left| S ight| }\bigr\}\bigr)$ QSamples or accesses to the unitary. Our lower bounds in both settings make essential use of Laurent polynomials, but in different ways.

연구 동기 및 목표

• QMA 모델에서 비밀의 양자 증인을 수신하는 양자 알고리즘이 근사 수세기를 해결하는 데 필요한 양자 쿼리 복잡도를 해결하는 것.
• QMA에서 근사 수세기를 위한 증인 크기와 쿼리 복잡도 간의 상호작용에 대한 날카로운 하한을 설정하는 것.
• 기본 쿼리 오라클을 초월해 Q샘플링 또는 Q샘플링에 대한 유니터리 액세스를 갖춘 양자 알고리즘의 능력을 조사하는 것.
• 라우렌트 다항식 기법을 새로운 방법으로 개발하고, 양자 증인 또는 샘플이 있는 설정에서 양자 하한을 증명하는 데 적용하는 것.
• SBP가 QMA와 오라클 분리 가능한지에 대한 열린 문제를 해결하기 위해, 새로운 하한 기법을 통해 그러한 분리를 증명하는 것.

제안 방법

• 양자 증인이 있는 양자 쿼리 복잡도 하한을 증명하기 위해, 양의 및 음의 정수 거듭제곱을 가진 다항식인 라우렌트 다항식을 핵심 분석 도구로 사용한다.
• 수용 확률을 나타내는 다항식의 차수와 구조를 분석하여 QMA 알고리즘에 대한 하한을 도출하기 위해 라우렌트 다항식 방법을 적용한다.
• 쌍대 다항식 기법과 보완성 조건을 활용하여 쿼리 복잡도 하한을 증명하는 데 사용할 수 있는 명시적 쌍대 해를 구성한다.
• 특히 Q샘플링 맥락에서의 변화에 대한 라우렌트 다항식의 거동을 분석하기 위해 '폭발 증명' 기법을 도입한다.
• 근사 이론과 대칭 다항식의 기법을 조합하여 다항식 표현에서 개별 변수의 영향력을 제한한다.
• Q샘플링에 대한 유니터리 액세스를 모델링함으로써 Q샘플링 설정으로의 분석을 확장하고, 쿼리 수와 샘플 수에 대한 하한을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 QMA 모델에서 근사 수세기를 해결하는 양자 알고리즘의 증인 크기와 쿼리 복잡도 간의 최적 상호작용은 무엇인가?
• RQ2 라우렌트 다항식을 사용하여 양자 증인 또는 Q샘플링을 갖는 양자 알고리즘의 날카로운 하한을 설정할 수 있는가?
• RQ3 SBP(근사 수세기를 캡처하는 복잡도 클래스)와 QMA 사이에 오라클 분리가 존재하는가?
• RQ4 Q샘플링 또는 Q샘플링에 대한 유니터리 액세스가 근사 수세기의 쿼리 복잡도와 샘플 복잡도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 집합 S를 나타내는 양자 상태에 액세스하는 멤버십 쿼리와 함께 작동하는 양자 알고리즘의 한계는 무엇인가?

주요 결과

• QMA 모델에서 근사 수세기를 해결하는 모든 알고리즘은 Ω(√(N/|S|)) 쿼리를 수행하거나 Ω(|S|)-큐비트 증인을 사용해야 하며, 이는 최적이며 두 가지 단순 프로토콜과 정확히 일치한다.
• 논문은 SBP와 QMA 사이의 오라클 분리 문제를 해결하며, 오라클에 대해 SBP가 QMA에 포함되지 않음을 보여준다.
• Q샘플링 또는 Q샘플링에 대한 유니터리 액세스가 가능하더라도, 알고리즘은 여전히 Θ(√(N/|S|)) 쿼리 또는 Θ(min{|S|^{1/3}, √(N/|S|)})의 Q샘플링 또는 유니터리 액세스가 필요하다.
• 이 하한은 날카롭고 기존의 근사 수세기 알고리즘의 최적성과 일치함을 보이며, 증인 또는 샘플이 있는 경우의 최적 알고리즘의 최적성은 입증된다.
• 라우렌트 다항식은 이러한 하한을 증명하는 데 필수적이며, QMA 및 Q샘플링 설정에서 각각 다른 방식으로 적용된다.
• 분석은 증인 크기와 쿼리 수 사이의 상호작용을 드러내며, 이 두 자원 중 하나가 충분히 크기만 하면 최적의 균형이 달성됨을 보여준다.