[논문 리뷰] Quantum Optimal Transport

Sam Cole, Michał Eckstein외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 14.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 77인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 고정된 감마 행렬을 가진 이량 분포 상태에서 양자 운반 비용을 최소화함으로써 양자 최적 운반 프레임워크를 제안한다. 최소 비용은 준선형계획법을 통해 효율적으로 계산될 수 있음을 보여준다. 주요 기여는 비용 행렬이 양의 준정부호이면서 대칭 행렬에서만 0이 되는 경우, 비용의 제곱근이 양자 워샤르슈타인-2 거리로 작용하며, 단일 큐비트 상태에 대해 반분석 공식을 사용해 명시적으로 계산됨을 보여준다.

ABSTRACT

We analyze a quantum version of the Monge--Kantorovich optimal transport problem. The quantum transport cost related to a Hermitian cost matrix $C$ is minimized over the set of all bipartite coupling states $ρ^{AB}$ with fixed reduced density matrices $ρ^A$ and $ρ^B$ of size $m$ and $n$. The minimum quantum optimal transport cost $ T^Q_{C}(ρ^A,ρ^B)$ can be efficiently computed using semidefinite programming. In the case $m=n$ the cost $ T^Q_{C}$ gives a semidistance if and only if $C$ is positive semidefinite and vanishes exactly on the subspace of symmetric matrices. Furthermore, if $C$ satisfies the above conditions, then $\sqrt{ T^Q_{C}}$ induces a quantum analogue of the Wasserstein-2 distance. Taking the quantum cost matrix $C^Q$ to be the projector on the antisymmetric subspace, we provide a semi-analytic expression for $ T^Q_{C^Q}$ for any pair of single-qubit states and show that its square root yields a transport distance on the Bloch ball. Numerical simulations suggest that this property holds also in higher dimensions. Assuming that the cost matrix suffers decoherence and that the density matrices become diagonal, we study the quantum-to-classical transition of the Earth mover's distance, propose a continuous family of interpolating distances, and demonstrate that the quantum transport is cheaper than the classical one. Furthermore, we introduce a related quantity -- the SWAP-fidelity -- and compare its properties with the standard Uhlmann--Jozsa fidelity. We also discuss the quantum optimal transport for general $d$-partite systems.

연구 동기 및 목표

• 헤르미트 비용 행렬을 사용하여 몽게–칸토로비치 최적 운반 문제의 양자판을 제시하기.
• 양자 운반 비용이 준거리가 되고, 특히 워샤르슈타인-2 거리의 양자 유사체가 되는 조건을 설정하기.
• 비용 행렬의 디코herence를 연구함으로써 최적 운반의 양자에서 고전으로의 전이를 분석하고, 양자 및 고전적 지구이동 거리 간 비교하기.
• 상태 유사도의 새로운 양자 측정인 SWAP-피델리티를 도입하고, 표준 Uhlmann–Jozsa 피델리티와 대조하기.
• 일반적인 d-편재 양자 시스템으로 프레임워크를 확장하고 최적 결합의 구조적 성질 유도하기.

제안 방법

• 이량 분포 결합 상태 ρ^AB에 대해 허미트 비용 행렬 C의 추적을 최소화함으로써 양자 최적 운반 문제를 설정하고, 고정된 감마 행렬 ρ^A 및 ρ^B를 조건으로 삼는다.
• 준선형계획법(SDP)을 사용하여 최소 양자 최적 운반 비용 T^Q_C(ρ^A,ρ^B)를 효율적으로 계산하며, 볼록 최적화 기법을 활용한다.
• 비용 행렬 C가 양의 준정부호이면서 대칭 행렬의 부분공간에서만 0이 되는 조건을 규명함으로써 T^Q_C가 준거리가 되고, √T^Q_C가 양자 워샤르슈타인-2 거리가 되는 조건을 도출한다.
• 비용 행렬 C^Q가 반대칭 부분공간에 대한 프로젝터일 경우, 최적 운반 비용 T^Q_{C^Q}에 대해 반분석 공식을 유도한다. 특히 단일 큐비트 상태에 대해 적용한다.
• 비용 행렬을 디코herence시키는 방식으로 양자에서 고전으로의 전이를 연구하고, 양자 운반 비용이 고전적 경우보다 엄격히 낮음을 보여준다.
• SWAP-피델리티를 새로운 양자 피델리티 측정으로 도입하고, Uhlmann–Jozsa 피델리티와의 성질을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비용 행렬 C가 양자 최적 운반 비용 T^Q_C(ρ^A,ρ^B)가 밀도 행렬 공간에서 준거리가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 양자 최적 운반 비용의 제곱근 √T^Q_C는 고전적 워샤르슈타인-2 거리의 양자 유사체가 될 수 있으며, 어떤 조건에서 메트릭이 되는가?
• RQ3 비용 행렬이 대각화되어 디코herence가 일어날 경우, 양자 최적 운반 비용은 고전적 지구이동 거리와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 비용 행렬이 반대칭 부분공간에 대한 프로젝터일 경우, 단일 큐비트 상태에 대해 최적 결합의 해석적 구조는 무엇인가?
• RQ5 새로 도입된 SWAP-피델리티는 단순한 Uhlmann–Jozsa 피델리티와 비례성 및 기하학적 성질 측면에서 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 최소 양자 최적 운반 비용 T^Q_C(ρ^A,ρ^B)는 준선형계획법을 통해 효율적으로 계산될 수 있어 양자 시스템에서 계산 가능성이 확보된다.
• 비용 행렬 C가 양의 준정부호이면서 대칭 행렬 부분공간에서만 0이 되는 조건을 만족할 경우, T^Q_C는 준거리를 정의하며, √T^Q_C는 양자 워샤르슈타인-2 거리를 유도한다.
• 단일 큐비트 상태에 대해 비용 행렬 C^Q가 반대칭 부분공간에 대한 프로젝터일 경우, 최적 운반 비용 T^Q_{C^Q}는 반분석 공식을 갖으며, 그 제곱근은 블로흐 구면에서 유효한 거리가 된다.
• 수치 시뮬레이션 결과, 양자 워샤르슈타인-2 거리의 구조는 큐비트를 넘어서 고차원 시스템으로도 확장됨을 시사한다.
• 비용 행렬이 디코herence가 일어날 경우, 양자 최적 운반 비용은 고전적 지구이동 거리보다 엄격히 낮으며, 이는 운반 효율성에서 양자적 우위를 보여준다.
• SWAP-피델리티는 Uhlmann–Jozsa 피델리티와는 다름없는 독특한 성질을 갖는 유효한 양자 피델리티 측정으로 입증되었으며, 특히 비율성과 상태 변환 하에서 기하학적 행동 측면에서 뚜렷한 차이를 보인다.