[논문 리뷰] Quantum phase transition from bounded to extensive entanglement entropy in a frustration-free spin chain

Zhao Zhang, Amr Ahmadain외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 24.

Quantum many-body systems참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 정확히 해소 가능한 지배 상태를 갖는, 과도성이 없고 이동 대칭성을 갖는 연속적인 스핀 체인 가중치를 제시한다. 이는 유한한 얽힘 엔트로피에서 광범위한 얽힘 엔트로피로의 양자 상전이를 나타낸다. 색이 칠해진 Motzkin 경로의 균일한 초위상에 조절 가능한 매개변수를 사용해 변형함으로써, 모델은 면적 법 위반 $√{n}$ 얽힘에서 부피 법 스케일링으로의 전이를 보이며, 과도성이 없고 비퇴화성을 유지하는 동안 얽힘 구조에서 새로운 상전이를 나타낸다.

ABSTRACT

We introduce a continuous family of frustration-free Hamiltonians with exactly solvable ground states. We prove that the {ground state of our model is non-degenerate and exhibits} a novel quantum phase transition from bounded entanglement entropy to a massively entangled state with volume entropy scaling. The ground state may be interpreted as a deformation away from the uniform superposition of colored Motzkin paths, showed by Movassagh and Shor to have a large (square-root) but sub-extensive scaling of entanglement into a state with an extensive entropy.

연구 동기 및 목표

• 정확히 해소 가능한 지배 상태를 갖는, 과도성이 없고 비퇴화적이며 이동 대칭성을 갖는 해밀토니안의 연속적인 가중치를 구성하는 것.
• 이러한 모델에서 얽힘 엔트로피가 어떻게 스케일링되는지, 특히 양자 상전이와의 관계에서 조사하는 것.
• 과도성이 없고 비퇴화성을 유지하면서 유한한 얽힘 엔트로피와 광범위한 얽힘 엔트로피 사이의 전이를 탐색하는 것.
• 경로 높이와 색상 상관관계가 스핀 체인에서 얽힘을 생성하는 데 어떤 역할을 하는지 이해하는 것.
• 지역적 과도성이 없는 해밀토니안 모델에서 부피 법 스케일링의 얽힘 엔트로피를 달성할 수 있는지 고려하는 것.

제안 방법

• 지배 상태는 체인 중간에 높은 높이에 도달하는 경로를 선호하는 가중치를 갖는 색이 칠해진 Motzkin 경로의 초위상으로 구성된다.
• 변형 매개변수 $ t $ 는 경로의 최대 높이에 따라 가중치를 조절하며, $ t > 1 $ 일 때는 더 높은 경로를 선호한다.
• 모든 국소 항이 서로 교환되고 지배 상태를 제거하도록 하여 과도성이 없는 해밀토니안을 설계한다.
• 경로 진폭의 재귀적 매핑 $ \tilde{M}_{n,m} $ 을 사용해 경로 높이의 확률 분포를 계산한다.
• 첫 $ n $ 스핀의 축소 밀도 행렬의 빈도에 기반한 얽힘 엔트로피를 계산한다.
• 확률 $ \tilde{p}_{n,m} $ 의 경계를 사용해 $ t $, $ s $, $ n $ 을 포함한 부등식을 이용해 엔트로피 스케일링 행동을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 과도성이 없고 이동 대칭성을 갖는 스핀 체인에서, 과도성이 없는 양자 상전이가 이루어져 유한한 얽힘 엔트로피에서 광범위한 얽힘 엔트로피로의 전이가 가능한가?
• RQ2 색이 칠해진 Motzkin 경로 상태의 가중치에서 변형 매개변수 $ t $ 의 함수로서 얽힘 엔트로피는 어떻게 스케일링되는가?
• RQ3 과도성이 없는 모델에서 광범위한 얽힘 엔트로피를 생성하는 데 경로 높이와 색상 상관관계는 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 지역적 과도성이 없는 해밀토니안을 갖는 모델에서 상호작용 범위를 늘리지 않고도 부피 법 스케일링의 얽힘 엔트로피를 달성할 수 있는가?
• RQ5 유한한 얽힘 엔트로피 단계와 광범위한 얽힘 엔트로피 단계에서의 스펙트럼 갭 행동은 어떻게 되며, 이는 얽힘 스케일링과 어떤 관련이 있는가?

주요 결과

• 변형 매개변수 $ t $ 가 증가함에 따라, 모델은 유한한 얽힘 엔트로피에서 부피 법 스케일링으로의 연속적인 양자 상전이를 나타낸다.
• $ t > 1 $ 일 때, 얽힘 엔트로피는 시스템 크기와 선형으로 스케일링되며, $ S_n \propto \log\left(\frac{d-1}{2}\right)n $ 로 표현되며, 여기서 $ d $ 는 국소 힐베르트 공간 차원이다.
• 색이 칠해지지 않은 Motzkin 경로 모델에 해당하는 임계점에서, 얽힘 엔트로피는 $ O(\sqrt{n}) $ 로 스케일링되며, 면적 법을 위반한다.
• 지배 상태는 전체 매개변수 범위에서 비퇴화적이며 과도성이 없고, 정확한 해소 가능성은 유지된다.
• $ t > 1 $ 일 때, 높은 경로 구성의 확률은 높이에 따라 지수적으로 감소하여 엔트로피 경계의 수렴을 보장한다.
• 광범위한 엔트로피 단계에서 스펙트럼 갭의 상한은 $ O(n^{-2}) $ 보다 더 빠르게 감소할 것으로 예상되며, 이는 갭이 더 강하게 수축함을 나타낸다.