[논문 리뷰] Quantum Spectral Clustering through a Biased Phase Estimation Algorithm

Ammar Daskin|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 16.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 앰플리튜드 증폭을 가속화하기 위해 편향된 위상 추정 방법을 사용하는 스펙트럴 클러스터링을 위한 양자 알고리즘을 제안한다. 데이터 행렬을 하우스홀더 행렬의 합으로 표현하고, 수정된 유니터리와 함께 위상 추정을 적용함으로써, 양자 복잡도가 O(2^m L N)이 되어, 행렬이 희박하거나 단순 유니터리로 분해 가능한 경우 고전적 스펙트럴 클러스터링에 비해 지수적 속도 향상을 제공한다.

ABSTRACT

In this brief paper, we go through the theoretical steps of the spectral clustering on quantum computers by employing the phase estimation and the amplitude amplification algorithms. We discuss circuit designs for each step and show how to obtain the clustering solution from the output state. In addition, we introduce a biased version of the phase estimation algorithm which significantly speeds up the amplitude amplification process. The complexity of the whole process is analyzed: it is shown that when the circuit representation of a data matrix of order $N$ is produced through an ancilla based circuit in which the matrix is written as a sum of $L$ number of Householder matrices; the computational complexity is bounded by $O(2^mLN)$ number of quantum gates. Here, $m$ represents the number of qubits (e.g., 6) involved in the phase register of the phase estimation algorithm.

연구 동기 및 목표

• 위상 추정과 앰플리튜드 증폭을 사용하여 스펙트럴 클러스터링을 위한 양자 알고리즘을 개발한다.
• 편향된 위상 추정 알고리즘을 통해 앰플리튜드 증폭의 반복 횟수를 줄인다.
• 스펙트럴 클러스터링의 양자 회로 복잡도를 분석하고 고전적 방법과 비교한다.
• 데이터 행렬 또는 라플라시안 행렬의 고유벡터가 양자 컴퓨터에서 효율적으로 추출될 수 있는 방법을 보여준다.

제안 방법

• 데이터 벡터에서 유도된 하우스홀더 행렬들로 구성된 유니터리 e^H에 위상 추정을 적용한다.
• 행렬 H = XX^T를 L개의 하우스홀더 행렬의 합으로 표현하며, 각각 O(N) 게이트로 구현 가능하다.
• 양자 푸리에 변환 대신 맞춤형 연산자를 사용하여 앰플리튜드 증폭의 반복 횟수를 줄이는 편향된 위상 추정 알고리즘을 적용한다.
• 가장 큰 고유값에 대응하는 원하는 고유벡터 상태의 앰플리튜드를 증폭하기 위해 앰플리튜드 증폭을 사용한다.
• 정밀도가 2^{-m}과 관련된 m 큐비트의 제어 레지스터를 사용하여 고유값을 추정한다.
• 클러스터링 레이블을 추출하기 위해 파울리 기반 또는 Y-연산자 기반의 초기 상태를 사용하여 출력 상태를 측정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위상 추정과 앰플리튜드 증폭을 사용하여 스펙트럴 클러스터링을 양자 컴퓨터에서 효율적으로 구현할 수 있는가?
• RQ2 표준 QPE에 비해 편향된 위상 추정 연산자가 앰플리튜드 증폭의 반복 횟수를 얼마나 줄이는가?
• RQ3 데이터 행렬이 하우스홀더 행렬로 분해될 경우 스펙트럴 클러스터링의 양자 회로 복잡도는 어떻게 되는가?
• RQ4 양자 방법이 고전적 스펙트럴 클러스터링에 비해 계산 복잡도 측면에서 어떤 조건에서 우월한가?
• RQ5 위상 추정 과정의 양자 상태 출력에서 클러스터링 해를 어떻게 추출할 수 있는가?

주요 결과

• 양자 알고리즘은 단계 수 m(위상 레지스터의 큐비트 수)과 하우스홀더 행렬 수 L에 대해 O(2^m L N)의 계산 복잡도를 달성한다.
• 편향된 위상 추정 알고리즘이 앰플리튜드 증폭에 필요한 반복 횟수를 크게 줄여 효율성을 향상시킨다.
• 행렬 H가 각각 O(log N) 게이트로 구현 가능한 단순 유니터리로 분해될 수 있을 경우, 복잡도는 O(2^m L log N)로 감소한다.
• 행렬이 희박하거나 단순 유니터리로 저질서 분해가 가능한 경우, 고전적 스펙트럴 클러스터링에 비해 지수적 속도 향상을 제공한다.
• 클러스터링 해는 초기 슈퍼포지션 상태와 Y-연산자(각 X-게이트의 합)를 사용하여 출력 상태를 측정함으로써 한 번의 시도만으로 추출된다.
• 다중 시도가 필요한 경우에도 클러스터링의 최적화를 위해 필요한 시도 수 c가 고전적 방법과 공유되므로 유리한 복잡도 스케일링을 유지한다.