[논문 리뷰] Quantum Speed-ups for Semidefinite Programming

Fernando G. S. L. Brandão, Krysta M. Svore|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 18.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 20인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 준정적계획문제(SDPs)를 해결하는 데 있어 양자 알고리즘을 제안하며, 최악의 경우 실행 시간을 $ n^{1/2}m^{1/2}s^2 \operatorname{poly}(\log n, \log m, R, r, 1/\delta) $로 줄여 제곱근 수준의 가속을 달성한다. 여기서 $ n $, $ m $, $ s $는 각각 행렬 차원, 제약 조건 수, 행 희소성이다. 이 알고리즘은 양자 겹침 표본 추출(quantum Gibbs sampling)과 수정된 곱셈 가중치 방법을 조합하여, SDPs와 선형계획법에 대해 처음으로 양자 가속을 이룩하며, $ \Omega(n^{1/2} + m^{1/2}) $의 양자 하한을 증명하여 이 가속이 거의 최적임을 보여준다.

ABSTRACT

We give a quantum algorithm for solving semidefinite programs (SDPs). It has worst-case running time $n^{\frac{1}{2}} m^{\frac{1}{2}} s^2 ext{poly}(\log(n), \log(m), R, r, 1/δ)$, with $n$ and $s$ the dimension and row-sparsity of the input matrices, respectively, $m$ the number of constraints, $δ$ the accuracy of the solution, and $R, r$ a upper bounds on the size of the optimal primal and dual solutions. This gives a square-root unconditional speed-up over any classical method for solving SDPs both in $n$ and $m$. We prove the algorithm cannot be substantially improved (in terms of $n$ and $m$) giving a $Ω(n^{\frac{1}{2}}+m^{\frac{1}{2}})$ quantum lower bound for solving semidefinite programs with constant $s, R, r$ and $δ$. The quantum algorithm is constructed by a combination of quantum Gibbs sampling and the multiplicative weight method. In particular it is based on a classical algorithm of Arora and Kale for approximately solving SDPs. We present a modification of their algorithm to eliminate the need for solving an inner linear program which may be of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 준정적계획문제(SDPs)를 빠르게 해결할 수 있는 양자 알고리즘을 개발하여, 널리 응용되는 볼록 최적화 문제의 핵심 클래스를 빠르게 해결하고자 한다.
• 특히 행렬 차원 $ n $과 제약 조건 수 $ m $ 측면에서 어떤 고전적 방법보다 증명 가능한 더 빠른 실행 시간을 달성하고자 한다.
• 선형계획법, SDPs의 특수한 경우이지만, 처음으로 양자 가속을 확립하고자 한다.
• SDP 해결에 대해 표준 매개변수 하에서 $ \Omega(n^{1/2} + m^{1/2}) $의 양자 하한을 증명하여 제안된 가속이 거의 최적임을 보여주고자 한다.

제안 방법

• 알고리즘은 아로라와 케일이 개발한 고전적 곱셈 가중치 방법을 SDPs에 대해 양자화한 데 기반을 두고 있다.
• 곱셈 가중치 프레임워크 내의 고전적 내부 선형계획문제를 양자 겹침 표본 추출 절차로 대체하여 기대값을 효율적으로 추정한다.
• 양자 겹침 표본 추출은 입력 행렬로부터 구성된 해밀토니안의 열린 상태를 시뮬레이션하여, 해의 공간 위에 분포에서 효율적으로 표본을 추출할 수 있도록 한다.
• 희소 해밀토니안의 효율적 양자 시뮬레이션을 활용하여, $ s $-희소 해밀토니안에 대해 시간 $ t $와 오차 $ \varepsilon $일 때 크기 $ O(st \operatorname{poly}(n, \log(1/\varepsilon))) $인 회로를 사용한다.
• 비제로 행렬 원소에 액세스하기 위한 쿼리 인터페이스를 제공하는 수정된 오рак루 모델을 사용하여, 효율적인 양자 상태 준비와 확률 추정을 가능하게 한다.
• 제약 조건의 경계 $ b_i < 1 $인 경우를 다루기 위해 감소 기법을 적용하여, $ b_i \geq 1 $인 등가의 SDP로 변환함으로써 알고리즘의 가정과 일관성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 알고리즘이 고전적 방법에 비해 준정적계획문제를 해결하는 데 있어 증명 가능한 가속을 달성할 수 있는가?
• RQ2 행렬 차원 $ n $과 제약 조건 수 $ m $에 대해 제곱근 수준의 가속이 달성되고 최적인지, 또는 근본적인 제한이 존재하는가?
• RQ3 고전적 곱셈 가중치 방법을 고전적 내부 선형계획문제 없이 양자 환경에 적응시킬 수 있는가?
• RQ4 일반적인 SDPs의 양자 복잡도 하한은, 일정한 희소성과 해의 크기에서 얼마인가?
• RQ5 이 양자 접근법은 SDPs의 특수한 경우인 선형계획법에도 가속을 제공하는가?

주요 결과

• 제안된 양자 알고리즘은 고전적 방법에 비해 $ n^{1/2}m^{1/2}s^2 \operatorname{poly}(\log n, \log m, R, r, 1/\delta) $의 최악의 경우 실행 시간을 달성하며, $ n $과 $ m $에 대해 제곱근 수준의 가속을 제공한다.
• 알고리즘은 선형계획법에 대해 처음으로 양자 가속을 확립한다. 이는 SDPs의 특수한 경우이기 때문이다.
• 일정한 $ s $, $ R $, $ r $, $ \delta $ 하에서 SDP 해결에 대해 $ \Omega(n^{1/2} + m^{1/2}) $의 양자 하한을 증명하여, 이 가속이 거의 최적임을 보여준다.
• 곱셈 가중치 프레임워크 내의 고전적 선형계획문제 서브루틴을 양자 겹침 표본 추출로 대체하여, 전체 행렬 역행렬 계산 없이도 기대값을 효율적으로 추정할 수 있다.
• 알고리즘의 효율성은 희소 해밀토니안의 효율적 양자 시뮬레이션과 다항로그 쿼리 복잡도를 갖는 구조화된 오라클 모델을 통한 행렬 원소 액세스에 기반한다.
• 작은 $ b_i $를 가진 SDP를 $ b_i \geq 1 $인 등가 형태로 변환할 수 있는 감소 기법을 개발하여, 해의 품질을 유지하면서도 일관된 알고리즘 적용을 가능하게 하였다.