[논문 리뷰] Quantum Spin Dynamics (QSD) II

Thomas Thiemann|arXiv (Cornell University)|1996. 06. 29.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories참고 문헌 10인용 수 105

한 줄 요약

이 논문은 양자 스핀 동역학(QSD)의 프레임워크를 사용하여 4차원 미분 기하학 양자 중력 이론에서 로렌츠형 워일러-데위트 제약 조건의 수학적으로 엄밀한 비섭동적 양자화를 제시한다. 자기수반 확장이 존재하는 잘 정의된 대칭 해밀토니안 제약 조건 연산자, 그룹 평균화를 통한 완전한 물리적 힐베르트 공간 유도, 그리고 임의의 값의 정점과 공면을 이루는 간선 탄젠트를 가진 스핀 네트워크 상태로 구성된 물리적 상태의 집합이 제약 조건에 의해 영향을 받지 않으며 물리적 내적을 지닌다는 것을 확인한다.

ABSTRACT

We continue here the analysis of the previous paper of the Wheeler-DeWitt constraint operator for four-dimensional, Lorentzian, non-perturbative, canonical vacuum quantum gravity in the continuum. In this paper we derive the complete kernel, as well as a physical inner product on it, for a non-symmetric version of the Wheeler-DeWitt operator. We then define a symmetric version of the Wheeler-DeWitt operator. For the Euclidean Wheeler-DeWitt operator as well as for the generator of the Wick transform from the Euclidean to the Lorentzian regime we prove existence of self-adjoint extensions and based on these we present a method of proof of self-adjoint extensions for the Lorentzian operator. Finally we comment on the status of the Wick rotation transform in the light of the present results.

연구 동기 및 목표

• 4차원 캐논리컬 양자 중력 이론에서 로렌츠형 워일러-데위트 제약 조건의 수학적으로 일관된 비섭동적 양자화를 제공하는 것.
• 유클리드 및 로렌츠 영역 모두에서 자기수반 확장을 갖는 대칭 해밀토니안 제약 조건 연산자의 구축과 그 존재성을 증명하는 것.
• 그룹 평균화 방법을 통해 전체 제약 조건의 핵심에 대해 적용 가능한 완전한 물리적 힐베르트 공간과 물리적 내적의 정의.
• 이론 내에서 물리적 관측 가능량을 정의하고 명시적으로 구성하는 것, 특히 스핀 네트워크 상태를 바탕으로 한 비자명한 예제 포함.
• 새로운 연산자 구성의 맥락에서 위크 회전의 역할을 명확히 하고 정규화 절차에서의 모호성을 해결하는 것.

제안 방법

• 논문은 분포적 해의 공간에 자연스러운 내적을 유도하는 그룹 평균화 방법을 사용하여 비대칭 워일러-데위트 연산자의 핵심을 유도한다.
• 대칭 버전의 해밀토니안 제약 조건을 정의하고, 힐베르트 공간 H 위에서 스펙트럼 이론을 사용하여 유클리드 및 위크-회전된 연산자에 대해 자기수반 확장의 존재를 증명한다.
• 해밀토니안 제약 조건의 작용은 특정 기하학적 및 위상수학적 조건을 만족하는 정점과 간선에 의해 정의된 스핀 1/2의 특별한 간선이 하나 또는 두 개 추가된 그래프에서 스핀 네트워크 상태를 생성하는 것으로 기술된다.
• 해결책을 기저 성분으로 분해하고 물리적 상태의系통적 분류를 가능하게 하기 위해 '원천' 스핀 네트워크 w₀(w)의 개념을 도입한다.
• 삼각형 성분 e_a^i를 체계적으로 잘 정의된 양자 연산자로 대체함으로써, 기존에 정의되지 않은 고전적 표현을 해결한다. 특히 e_a^i를 {A_a^i, V}로 대체함으로써 제약 조건을 다항식 형태로 만들고 유한하게 만든다.
• 이 프레임워크는 해밀토니안과 체적 연산자의 다항식 방정식을 풀어 양자 아인슈타인 방정식의 해를 구성하는 데 적용되며, 제약 조건 연산자의 스펙트럼은 주로 체적 연산자의 스펙트럼에 의해 결정된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속 영역에서 4차원 비섭동 캐논리컬 양자 중력 이론에 대해 잘 정의되고 대칭적이며 자기수반인 해밀토니안 제약 조건 연산자를 구성할 수 있는가?
• RQ2 워일러-데위츠 제약 조건의 해에 대한 완전한 물리적 힐베르트 공간은 무엇이며, 어떤 내적을 갖는가?
• RQ3 이 양자 중력 이론 프레임워크에서 물리적 관측 가능량은 어떻게 정의되고 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ4 위크 회전은 양자 이론에서 어떤 역할을 하는가? 그리고 정규화 이후에도 여전히 잘 정의되어 있는가?
• RQ5 정규화 선택이 양자 이론의 물리적 내용에 얼마나 영향을 미치며, 물리적으로 의미 있는 정규화 체계를 선택할 수 있는가?

주요 결과

• 비대칭 워일러-데위츠 제약 조건의 완전한 핵심은 임의의 차수의 정점과 공면을 이루는 입사 간선의 탄젠트를 가진 그래프 위에 정의된 분포적 상태로 생성된다.
• 핵심에 대한 물리적 내적은 참조 [10]에서 유도된 것과 일치하며, 그룹 평균화를 통한 이전 결과와의 일관성을 확인한다.
• 대칭 버전의 해밀토니안 제약 조건은 자기수반 확장을 갖으며, 유클리드 및 위크-회전 영역 모두에서 그러한 확장의 존재성이 증명된다.
• 해밀토니안 제약 조건의 작용은 원래 그래프에 스핀 1/2의 특별한 간선을 하나 또는 두 개 추가함으로써 새로운 스핀 네트워크 상태를 생성하며, 새로운 간선은 특정 기하학적 및 위상수학적 조건을 만족해야 한다.
• 양자 제약 조건 연산자는 해밀토니안과 체적 연산자의 저차수 다항식이므로, 양자 아인슈타인 방정식의 정확한 해를 계산적으로 다룰 수 있다.
• e_a^i를 {A_a^i, V}로 대체하는 정규화 기법은 이전에 정의되지 않은 연산자—예를 들어 길이를 측정하거나 점점 가까이 다가오는 대칭을 생성하는 연산자—를 양자 이론 내에서 잘 정의되고 유한하게 만든다.