[논문 리뷰] Quantum state preparation by phase randomization

Sergio Boixo, Emanuel Knill외 1명|ArXiv.org|2009. 03. 09.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 랜덤하게 선택된 진화 시간 동안 해밀토니안(또는 유니터리 연산자)을 적용하여 목표 양자 상태를 준비하기 위한 단계 무작위화 방법을 제안한다. 이는 불필요한 상태로의 전이를 억제하기 위해 양자 젠오 효과를 활용한다. 일정한 오차에 대해 평균 진화 시간의 최적 스케일링 𝒪(L²/Δ)을 달성하며, 이는 이전 방법들에 비해 로그적 개선을 이끌어내고, 애디아바틱 양자 컴퓨팅과 양자 시뮬레이티드 앤날링에 적용 가능하다.

ABSTRACT

A computation in adiabatic quantum computing is implemented by traversing a path of nondegenerate eigenstates of a continuous family of Hamiltonians. We introduce a method that traverses a discretized form of the path: At each step we apply the instantaneous Hamiltonian for a random time. The resulting decoherence approximates a projective measurement onto the desired eigenstate, achieving a version of the quantum Zeno effect. If negative evolution times can be implemented with constant overhead, then the average absolute evolution time required by our method is O(L^2/Delta) for constant error probability, where L is the length of the path of eigenstates and Delta is the minimum spectral gap of the Hamiltonian. Making explicit the dependence on the path length is useful for cases where L does not depend on Delta. The complexity of our method has a logarithmic improvement over previous algorithms of this type. The same cost applies to the discrete-time case, where a family of unitary operators is given and each unitary and its inverse can be used. Restriction to positive evolution times incurs an error that decreases exponentially with the cost. Applications of this method to unstructured search and quantum sampling are considered. In particular, we discuss the quantum simulated annealing algorithm for solving combinatorial optimization problems. This algorithm provides a quadratic speed-up in the gap of the stochastic matrix over its classical counterpart implemented via Markov chain Monte Carlo.

연구 동기 및 목표

• 느린 애디아바틱 진화를 요구하지 않고 해밀토니안 경로의 목표 고유상태를 준비하는 방법을 개발하기 위해.
• 무작위화를 통해 효과적인 수준 분리(레벨 디커플링)를 달성하여 애디아바틱 정리의 한계를 극복하기 위해.
• 스펙트럼 갭 Δ와 경로 길이 L에 대해 진화 시간에 대한 최적 스케일링을 달성하기 위해.
• 이를 이산 시간 유니터리 진화로 확장하여 양자 시뮬레이티드 앤날링에 적용 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 해밀토니안 경로를 이산화하고, 각 해밀토니안을 철저히 선택된 확률 분포에서 유도된 무작위 진화 시간 동안 적용한다.
• 무작위화는 목표 상태와 다른 고유상태 간의 위상 일관성을 억제하여, 양자 젠오 효과를 모방한다.
• 확률 분포는 불필요한 전이를 상쇄시키도록 설계되어, 즉각적인 고유상태로의 효과적 투영을 가능하게 한다.
• 역행 진화의 경우, 회로 반전을 사용하여 동일한 비용을 달성하며, 최적 스케일링을 실현한다.
• 이 방법은 연속 시간 해밀토니안 진화와 이산 시간 유니터리 진화 모두에 적용 가능하며, 고유상태가 알려져 있는 경우에 한해 유용하다.
• 고유상태 진화 속도가 거의 균일하도록 매개변수화하는 방식을 사용하여, 경로 길이 의존도를 최소화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 진화 시간을 통해 양자 젠오 효과를 활용하여, 애디아바틱 진화보다 더 효율적으로 목표 고유상태를 준비할 수 있는가?
• RQ2 스펙트럼 갭 Δ와 경로 길이 L에 대해 평균 진화 시간의 최적 스케일링은 무엇인가?
• RQ3 역행 진화가 양의 시간에만 제한된 경우, 이 방법의 성능은 어떠한가?
• RQ4 이 방법을 이산 시간 유니터리 진화로 확장하여 양자 시뮬레이티드 앤날링에 적용할 수 있는가?
• RQ5 이 방법의 복잡도는 경로 길이 L과 최소 스펙트럼 갭 Δ에 대해 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• 일정한 오차 확률에 대해 필요한 평균 절대 진화 시간은 𝒪(L²/Δ)로 스케일링되며, 스펙트럼 갭 Δ에 대해 최적의 의존성을 보인다.
• 이전의 젠오 기반 알고리즘에 비해 복잡도에서 로그적 개선을 달성한다.
• 역행 진화가 허용되는 경우, 복잡도는 𝒪(L²/Δ)이며 오차에 로그 인자 없이 최적이다. 반면, 양의 시간에만 제한된 경우 오차는 비용에 따라 지수적으로 감소한다.
• 해석적 해밀토니안 경로의 경우, 고정밀 단계 추정을 사용하여 오차 ε에 대해 로그 스케일링을 달성할 수 있다.
• 복잡도의 한계는 해밀토니안의 고차 도함수에 의존하지 않으며, 알려진 애디아바틱 정리보다 향상된 성능을 보인다.
• 이 방법은 연속 시간 해밀토니안 진화와 이산 시간 유니터리 진화 모두에 적용 가능하며, 동일한 복잡도 스케일링을 유지한다.