[논문 리뷰] Quantum Theory over a Galois Field and Applications to Gravity and Particle Theory

Felix M. Lev|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 24.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 89인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특성이 큰 $p$인 갈로아 체를 사용하여 양자 이론을 재구성하며, 어두운 에너지나 시공간 배경을 요구하지 않고 디Sitter 대칭성에서 기하학적으로 기인하는 중력과 우주론적 가속도를 주장한다. 이 접근법은 중력이 자연의 유한성의 결과로 간주되며, 전하 및 바리온/르프톤 수의 근사적 보존을 이끌어내고, 유일하게 진정으로 기본 입자일 수 있는 것은 디랙 싱글턴임을 시사한다.

ABSTRACT

We argue that the main reason of crisis in quantum physics is that nature, which is fundamentally discrete, is described by continuous mathematics. Moreover, no ultimate physical theory can be based on continuous mathematics because, as follows from G\{o}del's incompleteness theorems, that mathematics is not self-consistent. In the first part of the work we discuss inconsistencies in standard approach to quantum theory and reformulate the theory such that it can be naturally generalized to a formulation based on discrete mathematics. It is shown that the cosmological acceleration and gravity can be treated simply as {\it kinematical} manifestations of de Sitter symmetry on quantum level ({\it i.e. for describing those phenomena the notions of dark energy, space-time background and gravitational interaction are not needed}). In the second part of the work we argue that fundamental quantum theory should be based on a Galois field with a large characteristic $p$. In this approach the de Sitter gravitational constant depends on $p$ and disappears in the formal limit $p o\infty$, i.e. gravity is a consequence of finiteness of nature. The application of the approach to particle theory gives the following results: a) no neutral elementary particles can exist; b) the electric charge and the baryon and lepton quantum numbers can be only approximately conserved (i.e. the notion of a particle and its antiparticle is only approximate). We also consider a possibility that only Dirac singletons can be true elementary particles.

연구 동기 및 목표

• 연속 수학에 의존함으로써 발생하는 양자역학의 기초적 위기 문제를 해결하기 위해 고르델의 정리에 따라 연속 수학이 본질적으로 모순됨을 고려한다.
• 특히 특성이 큰 갈로아 체 $p$를 사용한 유한체 기반의 이산 수학적 프레임워크에 기반하여 양자 이론을 재구성한다.
• 우주론적 가속도와 중력이 어두운 에너지나 중력 상호작용을 요구하지 않고 디Sitter 대칭성의 운동학적 표현임을 보여준다.
• 입자 보존 법칙에 대한 새로운 제약 조건을 유도하며, 전하 및 바리온/르프톤 수의 보존이 근사적임을 시사한다.
• 이 이산 양자 프레임워크에서 디랙 싱글턴만이 진정으로 기본 입자일 수 있음을 탐색한다.

제안 방법

• 특성이 큰 $p$인 갈로아 체 $\mathbb{F}_p$ 위에서 양자 이론을 수립하며, 연속 힐버트 공간을 $\mathbb{F}_p$ 위의 유한차원 벡터 공간으로 대체한다.
• 디Sitter 대칭성을 양자 수준에서 기본 시공간 대칭성으로 사용하여, 중력장 도입 없이도 가속도 및 중력과 같은 운동학적 효과를 유도한다.
• 중력 상수를 $p$의 함수로 정의하며, $p \to \infty$ 근처에서 그 값이 0이 됨을 보여, 중력이 자연의 유한성에서 기인함을 시사한다.
• 입자 이론에 이 이산 프레임워크를 적용하여, 유한체 범위 내에서 양자수와 보존 법칙을 분석한다.
• 유한체에서의 디Sitter 군의 표현 이론을 분석하여 가능한 기본 입자를 식별하며, 특히 디랙 싱글턴에 초점을 맞춘다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속 수학 대신 큰 갈로아 체 위에서 양자 이론을 일관적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 어두운 에너지나 시공간 기하학을 도입하지 않고도 디Sitter 대칭성만으로도 우주론적 가속도와 중력을 운동학적 효과로 생성할 수 있는가?
• RQ3 유한체 $\mathbb{F}_p$ 위에서의 이산 양자 이론에서 전하 수, 바리온 수, 르프톤 수의 보존 법칙은 어떻게 유도되는가?
• RQ4 유한체의 특성 $p$는 중력의 강도와 기본 입자의 존재에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이 이산 양자 프레임워크에서 디랙 싱글턴만이 진정으로 기본 입자일 수 있는 유일한 후보인가?

주요 결과

• 중력과 우주론적 가속도는 시공간 배경이나 중력 상호작용을 요구하지 않고도 이산 양자 프레임워크에서 디Sitter 대칭성의 운동학적 결과로 나타남을 보였다.
• 중력 상수는 갈로아 체의 특성 $p$에 의존하며, $p \to \infty$ 근처에서 0이 되므로 자연의 유한성이 중력의 기원임을 시사한다.
• 기본 입자는 엄밀히 중성일 수 없으며, 이론의 이산적 구조가 중성 상태의 정확한 전하 보존을 금지하기 때문이다.
• 전하 수, 바리온 수, 르프톤 수는 근사적으로만 보존되므로, 이 프레임워크에서는 입자와 반입자의 개념이 근사적임을 의미한다.
• 디랙 싱글턴만이 이산 대칭성과 보존 제약 조건을 일관되게 만족하므로 유일하게 진정으로 기본 입자로 간주될 수 있다.