[논문 리뷰] Quantum Tomography of Semi-Algebraic Sets with Constrained Measurements

Michael Kech, Michael M. Wolf|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 03.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 밀도 행렬의 준대수집합 내의 모든 양자 상태를 유일하게 식별하는 데 필요한 제약 조건이 있는 양자 측정의 수—특히 랭크-일치 POVM, 바나흐-바나흐 측정, 또는 국소 관측량—에 대한 일반적인 상한을 설정한다. 준대수집합 S에 대해 k(n−1) > 2 dim(S)일 경우, k개의 일반적인 바나흐-바나흐 측정이 충분함을 보이며, 랭크 ≤ r인 낮은 랭크 상태의 경우 k(n−1) > 4r(n−r)−2일 때 k개의 측정이 충분함을 보이며, 실대수기하학의 도구를 활용한다.

ABSTRACT

We analyse quantum state tomography in scenarios where measurements and states are both constrained. States are assumed to live in a semi-algebraic subset of state space and measurements are supposed to be rank-one POVMs, possibly with additional constraints. Specifically, we consider sets of von Neumann measurements and sets of local observables. We provide upper bounds on the minimal number of measurement settings or outcomes that are required for discriminating all states within the given set. The bounds exploit tools from real algebraic geometry and lead to generic results that do not only show the existence of good measurements but guarantee that almost all measurements with the same dimension characteristic perform equally well. In particular, we show that on an $n$-dimensional Hilbert space any two states of a semi-algebraic subset can be discriminated by $k$ generic von Neumann measurements if $k(n-1)$ is larger than twice the dimension of the subset. In case the subset is given by states of rank at most $r$, we show that $k$ generic von Neumann measurements suffice to discriminate any two states provided that $k(n-1)>4r(n-r)-2$. Furthermore, we obtain corresponding results for low-rank matrix recovery of hermitian matrices and the phase retrieval problem.

연구 동기 및 목표

• 상태 공간의 준대수집합에 제약을 받는 양자 상태를 유일하게 식별하는 데 필요한 최소 측정 설정 수를 결정하는 것.
• 구조적 제약 조건 하에서 랭크-일치 POVM, 바나흐-바나흐 측정, 국소 관측량을 고려한 시나리오를 분석하는 것.
• 거의 모든 동일한 차원을 가진 측정 설정 구성에서 유효한, 차원 기반의 일반적인 상한을 유도하는 것.
• 유사한 기하적 제약 조건 하에서 낮은 랭크 행렬 복원 및 위상 복원 문제로 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• 준대수집합의 양자 상태 구조와 차원을 특성화하기 위해 실대수기하학의 도구를 활용한다.
• 일반성 원리를 적용하여, 동일한 차원을 가진 거의 모든 측정 설정 구성이 상태 식별에서 동일하게 잘 작동함을 보인다.
• 측정 설정 수 k의 상한을 힐베르트 공간 차원 n과 상태 집합의 차원에 기반하여 도출한다.
• 랭크 제약이 있는 상태(랭크 ≤ r)를 고려하고, k(n−1) > 4r(n−r)−2일 때 k개의 일반적인 바나흐-바나흐 측정이 충분함을 도출한다.
• 기하적 제약 조건과 측정 모델을 적응시켜 낮은 랭크 에르미트 행렬 복원 및 위상 복원에 프레임워크를 확장한다.
• 대수기하학적 기법을 활용하여, 적절한 차원의 일반 측정이 특별한 校정이 필요 없이 완전한 구별 가능성을 달성함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 상태의 준대수집합 내에서 모든 상태를 유일하게 식별하는 데 필요한 최소 측정 설정 수는 얼마인가?
• RQ2 일반적인 바나흐-바나흐 측정이 준대수집합 내 상태를 식별하는 데 어떻게 작동하며, 어떤 조건에서 이 성능이 보장되는가?
• RQ3 상태 집합의 차원과 랭크 제약 조건을 사용하여 요구되는 측정 수에 대한 명시적 상한을 도출할 수 있는가?
• RQ4 고정된 차원을 가진 일반 측정 설정 구성이 전체 집합에서 최적의 상태 식별을 어느 정도 달성하는가?
• RQ5 유사한 기하적 제약 조건 하에서 결과를 낮은 랭크 행렬 복원 및 위상 복원 문제로 어떻게 확장할 수 있는가?

주요 결과

• n차원 힐베르트 공간의 준대수집합 S에 대해, k(n−1) > 2 dim(S)일 경우 k개의 일반적인 바나흐-바나흐 측정이 S 내 모든 상태를 식별하는 데 충분하다.
• 랭크가 최대 r인 상태의 부분집합에 대해, k(n−1) > 4r(n−r)−2일 경우 k개의 일반적인 바나흐-바나흐 측정이 충분하다.
• 상한은 일반적이다: 요구되는 최소 설정과 동일한 차원을 가진 거의 모든 측정 설정 구성은 동일하게 잘 작동한다.
• 결과는 낮은 랭크 에르미트 행렬 복원으로 일반화되어, 필요한 측정 수에 대해 유사한 상한을 제공한다.
• 위상 복원 문제는 동일한 기하학적 프레임워크 하에서 다루어지며, 측정 설정에 대해 유사한 상한이 유도된다.
• 분석 결과, 최소 측정 수는 힐베르트 공간 차원과 상태 집합의 내재적 차원 간의 상호작용에 의해 결정됨을 밝혀냈다.