[논문 리뷰] Quantum walk search algorithms and effective resistance

Stephen Piddock|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 09.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 초기 분포에서 표식이 된 정점 집합으로의 유효 저항 $R_{\sigma,M}$ 와 총 무게의 상한 $\tilde{W}$ 를 고려하여, 그래프 내에서 표식이 된 정점을 $O(\sqrt{R_{\sigma,M} \tilde{W}} \log^3(|M|))$ 개의 양자 워크 스텝 내에 찾는 양자 워크 알고리즘을 제시한다. 알고리즘은 단지 존재 여부를 탐지하는 데 그치지 않고, 단계적으로 표식이 된 정점을 출력하도록 벨로프스의 탐지 프레임워크를 확장한다. 이를 위해 단계적 추정을 활용하여 전기 흐름 상태를 준비하고, 이를 측정하여 높은 확률로 표식이 된 정점을 샘플링한다.

ABSTRACT

We consider the problem of finding a marked vertex in a graph from an arbitrary starting distribution, using a quantum walk based algorithm. We work in the framework introduced by Belovs which showed how to detect the existence of a marked vertex in $O(\sqrt{RW})$ quantum walk steps, where $R$ is the effective resistance and $W$ is the total weight of the graph. Our algorithm outputs a marked vertex in the same runtime up to a logarithmic factor in the number of marked vertices. When starting in the stationary distribution, this recovers the recent results of Ambainis et al. We also describe a new algorithm to estimate the effective resistance $R$.

연구 동기 및 목표

• 그래프 내에서 표식이 된 정점을 출력하는 데 목적이 있는 양자 워크 기반 알고리즘을 개발한다. 단지 존재 여부를 탐지하는 것 이상의 기능을 수행한다.
• 임의의 초기 분포에서 시작하여, 벨로프스의 양자 워크 탐지 알고리즘을 일반화하여 표식이 된 정점 출력 기능을 포함한다.
• 다수의 표식이 된 정점이 존재할 경우, 가장 잘 알려진 결과들과 비교하여 유사한 런타임을 달성한다. 특히 정적 분포에서 시작할 경우 암바인시스 등 [1]의 $O(\sqrt{HT})$ 결과를 복원한다.
• 다중 오차 $\epsilon$ 를 제어하는 데 있어, 유효 저항 $R_{s,M}$ 를 $O(\sqrt{R_{s,M} \tilde{W}} / \epsilon^2)$ 스텝 내에서 추정하는 새로운 방법을 제공한다.
• 일반적인 그래프에서 전기 흐름 상태가 어떻게 나타나는지를 청소하고 일반적인 증명을 수립한다. 이는 이전 결과들이 나무 구조에 특화된 성질에 의존한 것과 대비된다.

제안 방법

• 초기 상태와 표식이 된 정점 집합 사이에 전압원을 시뮬레이션할 수 있도록, 추가 엣지를 포함한 수정된 그래프 $G'$ 를 구성한다. 이를 통해 전기 흐름 상태에 대한 단계적 추정을 가능하게 한다.
• 수정된 그래프 $G'$ 의 양자 워크 연산자에 대해 단계적 추정을 적용하여, 초기 분포에서 표식이 된 정점으로 향하는 전기 흐름을 근사하는 상태 $|\Phi\rangle$ 를 준비한다.
• 단계적 추정 결과와 모든 0 상태의 앙시라 상태 간의 오버랩을 추정하기 위해 확률 강도 추정을 적용한다. 이 오버랩은 유효 저항 $R_{\sigma,M}$ 과 관련된다.
• 성공 확률을 향상시키기 위해, 확률 밀도 함수 $1/(x \log(b/a))$ 를 가진 $x \in [a,b]$ 의 저항 매개변수에 대해 재조정된 분포에서 샘플링한다.
• 유효 저항 $R_{s',M'}(x)$ 의 도함수는 $x$ 에 대한 전류 $q(x)$ 와 같고, 최악의 경우 $q(x) \geq 1/|M|$ 이므로, $b/a = O(|M|)$ 가 되도록 간격 $[a,b]$ 를 유계화한다.
• 샘플링된 $x$ 값들에 대해 단계적 추정과 측정을 반복하여 표식이 된 정점을 찾을 때까지 반복한다. 이로 인해 예상 시도 횟수는 $O(\log(b/a))$ 가 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표식이 된 정점의 존재 여부를 탐지하는 데에만 국한되는 양자 워크 알고리즘을, 임의의 초기 분포에서 시작하여 실제로 표식이 된 정점을 출력할 수 있도록 수정할 수 있는가?
• RQ2 다수의 표식이 된 정점이 존재할 경우, 유효 저항과 총 그래프 무게를 고려하여, 표식이 된 정점을 찾는 데에 최적의 런타임은 무엇인가?
• RQ3 제어된 다중 오차 $\epsilon$ 를 갖는 양자 워크 스텝을 사용하여, 소스와 표식이 된 정점 집합 사이의 유효 저항을 어떻게 추정할 수 있는가?
• RQ4 단계적 추정에서 유도된 전기 흐름 상태를 일반적인 그래프에서 높은 확률로 표식이 된 정점을 샘플링하는 데 사용할 수 있는가? 나무 외의 그래프에서도 가능한가?
• RQ5 임의의 분포에서 시작할 경우, 알고리즘의 런타임이 표식이 된 정점의 수 $|M|$ 에 따라 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• 알고리즘은 $O(\sqrt{R_{\sigma,M} \tilde{W}} \log^3(|M|))$ 개의 양자 워크 스텝 내에 표식이 된 정점을 출력하며, $|M|$ 에 대한 로그 인자 외에는 가장 잘 알려진 런타임과 일치한다.
• 초기 분포 $\sigma$ 가 정적 분포일 경우, 알고리즘은 암바인시스 등 [1]의 $O(\sqrt{HT})$ 런타임을 $\log(|M|)$ 인자 외에는 복원한다.
• 유효 저항 $R_{s,M}$ 는 다중 오차 $\epsilon$ 를 갖는 $O(\sqrt{R_{s,M} \tilde{W}} / \epsilon^2)$ 스텝 내에서 추정 가능하며, 반복적인 저정확도 단계적 추정을 통해 향상 가능성이 있다.
• 샘플링 절차에서 사용된 간격 $[a,b]$ 는 $b/a = O(|M|)$ 를 만족하며, 이는 런타임에 나타나는 $\log^3(b/a)$ 인자가 $O(\log^3(|M|))$ 가 되도록 보장한다.
• 유효 저항의 도함수 $R_{s',M'}(x)$ 는 추가 전류 $x$ 에 대해 전류 $q(x)$ 와 같고, $q(x) \geq 1/|M|$ 이므로 $R_{s',M'}(b) - R_{s',M'}(a) \geq (b-a)/|M|$ 이다. 이는 간격 유계화에 기여한다.
• 전기 흐름 상태 준비 증명은 전기 흐름의 연속성과 선형성에 기반하여, 나무 외의 모든 그래프에 일반적으로 적용 가능하다.