[논문 리뷰] Quantum wave representation of dissipative fluids

Luca Salasnich, Sauro Succi외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 08. 10.

Advanced Thermodynamics and Statistical MechanicsPhysics and Astronomy참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 슈뢰딩거 방정식의 비선형 포텐셜을 수정하여 보함 양자 포텐셜과 위상장의 라플라스 연산을 포함함으로써, 비압축성 점성 유체에 대한 새로운 양자 파동 표현을 제안한다. 이로 인해 유도된 방정식은 정확히 나비에-스토크스 방정식과 일치하며, 고전적 점성 유체의 양자 시뮬레이션을 가능하게 하고 유체역학에서 양자 알고리즘을 위한 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We present a mapping between a Schrödinger equation with a shifted non-linear potential and the Navier-Stokes equation. Following a generalization of the Madelung transformations, we show that the inclusion of the Bohm quantum potential plus the laplacian of the phase field in the non-linear term leads to continuity and momentum equations for a dissipative incompressible Navier-Stokes fluid. An alternative solution, built using a complex quantum diffusion, is also discussed. The present models may capture dissipative effects in quantum fluids, such as Bose-Einstein condensates, as well as facilitate the formulation of quantum algorithms for classical dissipative fluids.

연구 동기 및 목표

• 비압축성 점성 유체에 대한 나비에-스토크스 방정식과 수정된 슈뢰딩거 방정식 사이의 공식적 매핑을 수립하기 위해.
• 보함 양자 포텐셜과 위상장의 라플라스 연산을 포함하는 이동된 비선형 포텐셜을 통해 마델룽 포괄론을 점성(소산적) 효과를 포함하도록 확장하기 위해.
• 폴리톤 응축체와 같은 시스템에 관련된 복소 양자 확산계수를 사용한 대안적 수식을 탐색하기 위해.
• 특히 양자 컴퓨팅 응용 분야에 적합한, 양자역학적 형식을 사용하여 고전적 비압축성 유체의 양자 시뮬레이션을 가능하게 하기 위해.
• 양자화된 소용돌이와 점성 모두를 포괄하는 통합된 단일 유체 모델을 제공하여 초유체 및 보즈-아인슈타인 응축체에 관련된 내용을 다루기 위해.

제안 방법

• 파동함수를 에이코날 형태로 표현함으로써 표준 슈뢰딩거 방정식에서 마델룽 방정식을 유도한다: ψ = R e^{is}.
• 이동된 비선형 포텐셜 V = U + W(|ψ|²) + Q + ∇²s 를 도입하며, 여기서 Q 는 보함 양자 포텐셜이고 ∇²s 는 점성 소산을 나타낸다.
• 수정된 슈뢰딩거 방정식에서 유도된 연속성 방정식과 운동량 방정식이 점성에 비례하는 ∇²s 를 갖는 비압축성 나비에-스토크스 방정식을 정확히 재현함을 보여준다.
• 복소 양자 확산계수 D = D_real + iD_imag 를 사용한 대안적 접근을 제안하며, 이는 나비에-스토크스 역학을 모방하는 복소 양자 확산 방정식을 이끈다.
• 복소 확산계수 수식은 형식적 보존성을 유지하기 위해 허수의 가짜 포텐셜이 필요하며, 이는 물리적 양자 행동을 복원하지는 않음을 보여준다.
• 소용돌이의 역할을 분석하여, 비회전 흐름에서도 위상 특이점에서 소용돌이가 나타나며, 고전적 소용돌이는 추가적인 벡터 장이 필요함을 밝힌다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비압축성 유체에서 점성 소산을 포함하기 위해 슈뢰딩거 방정식의 비선형 포텐셜을 수정함으로써 마델룽 포괄론을 일반화할 수 있는가?
• RQ2 비선형 포텐셜에 위상장의 라플라스 연산이 포함될 경우, 나비에-스토크스 방정식의 점성 항은 어떻게 재현되는가?
• RQ3 보함 양자 포텐셜과 위상장의 라플라스 연산이 양자 파동 프레임워크 내에서 소산적 유체역학을 생성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 복소 양자 확산계수를 사용하여 고전적 나비에-스토크스 역학을 모델링할 수 있으며, 이 접근법의 제약 조건은 무엇인가?
• RQ5 이 양자 파동 표현이 양자 컴퓨터에서 고전적 비압축성 유체의 양자 시뮬레이션을 어느 정도 가능하게 하는가?

주요 결과

• 이동된 비선형 포텐셜 V = U + W(|ψ|²) + Q + ∇²s 를 갖는 수정된 슈뢰딩거 방정식은 비압축성 나비에-스토크스 방정식과 동치인 운동 방정식을 유도한다.
• 나비에-스토크스 방정식의 점성 항은 위상장의 라플라스 연산 (∇²s) 에서 자연스럽게 유도되며, 이는 운동량 방정식에서 소산 기여로 작용한다.
• 양자 포텐셜 Q 와 ∇²s 가 함께 작용함으로써, 연속성 및 운동량 방정식이 비압축성 나비에-스토크스 형태로 일치함을 보장하며, 이는 표준 마델룽 그림에서 유속이 비회전적일지라도 성립한다.
• 소용돌이는 파동함수의 위상 특이점에서 나타나며, 초유체의 양자화된 소용돌이를 모방할 수 있으나, 기본 수식에서는 고전적 소용돌이가 없음에도 불구하고 가능하다.
• 복소 확산계수 접근법은 소산을 위한 대안적 경로를 제공하지만, 허수의 가짜 포텐셜을 도입하지 않으면 보존성이 깨지며, 이는 물리적 양자 행동을 복원하지는 않는다.
• 이 프레임워크는 특히 양자 알고리즘과 폴리톤 응축체와 같은 시스템에 관련된 고전적 비압축성 유체의 양자 시뮬레이션을 위한 유망한 길을 제공한다.