[논문 리뷰] Quasi-Coxeter categories and a relative Etingof-Kazhdan quantization functor

Andrea Appel, Valerio Toledano-Laredo|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 30.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 완비화된 양자 보어 대수 $U_{\hbar}\mathfrak{g}[[\hbar]]$와 보편 보어 대수 $U\mathfrak{g}[[\hbar]]$ 사이의 동형사상이 리브이 부분대수 포함관계를 유지하도록 하는 상대적인 Etingof-Kazhdan 양자화 함자를 수립한다. 주요 결과는 수정된 Etingof-Kazhdan 함자를 통한 Manin 삼중체 사슬과 함께 아핀 Kac-Moody 대수로까지 일반화된 양자 웨일 군 연산자의 단일화된 기술을 제공하는 준-코크세터 카테고리 간의 자연스러운 동치이다.

ABSTRACT

Let g be a symmetrizable Kac-Moody algebra and U_h(g) its quantized enveloping algebra. The quantum Weyl group operators of U_h(g) and the universal R-matrices of its Levi subalgebras endow U_h(g) with a natural quasi-Coxeter quasitriangular quasibialgebra structure which underlies the action of the braid group of g and Artin's braid groups on the tensor product of integrable, category O modules. We show that this structure can be transferred to the universal enveloping algebra Ug[[h]]. The proof relies on a modification of the Etingof-Kazhdan quantization functor, and yields an isomorphism between (appropriate completions of) U_h(g) and Ug[[h]] preserving a given chain of Levi subalgebras. We carry it out in the more general context of chains of Manin triples, and obtain in particular a relative version of the Etingof-Kazhdan functor with input a split pair of Lie bialgebras. Along the way, we develop the notion of quasi-Coxeter categories, which are to generalized braid groups what braided tensor categories are to Artin's braid groups. This leads to their succint description as a 2-functor from a 2-category whose morphisms are De Concini-Procesi associahedra. These results will be used in the sequel to this paper to give a monodromic description of the quantum Weyl group operators of an affine Kac-Moody algebra, extending the one obtained by the second author for a semisimple Lie algebra.

연구 동기 및 목표

• 반단순 대수에서의 양자 웨일 군 연산자의 단일화된 기술을 아핀 Kac-Moody 대수로 확장하는 것.
• 표준 Etingof-Kazhdan 동형사상이 아핀 경우에 리브이 부분대수 포함관계를 유지하지 못하는 데서 기인하는 문제를 해결하는 것.
• Manin 삼중체 사슬과 리브이 부분대수를 고려하는 상대적 Etingof-Kazhdan 함자를 구축하는 것.
• 일반화된 브레인 군 작용을 위한 카테고리적 프레임워크로서 준-코크세터 카테고리를 정의하고 특성화하는 것.
• 양자 웨일 군 연산자 및 $R$-행렬의 구조를 유지하는 $U_{\hbar}\mathfrak{g}$와 $U\mathfrak{g}[[\hbar]]$ 사이의 자연스러운 동형사상을 수립하는 것.

제안 방법

• 원래 동형사상에 상대 모노드로미 데이터로부터 유도된 토크 원소로의 공액을 통해 리브이 부분대수 포함관계를 유지하도록 Etingof-Kazhdan 양자화 함자를 수정한다.
• 준-코크세터 카테고리를 체계적으로 기술하기 위해 De Concini-Procesi의 아소시아헤드라 2-카테고리에서 2-함수를 구축한다.
• 리 대수의 연관자와 함께 등연속 모듈의 드리플린 카테고리를 사용하여 위상적 맥락에서 Etingof-Kazhdan 함수를 정의한다.
• 분할된 리 볼레르그룹 쌍과 Manin 삼중체 사슬을 입력으로 하는 Etingof-Kazhdan 함수의 상대적 형태를 도입한다.
• 완비화된 $U\mathfrak{g}[[\hbar]]$에 Etingof-Kazhdan 구성법을 적용하고, 양자군 연산자와 일치시키기 위해 동형사상을 공액으로 조정한다.
• 수정된 동형사상이 $R$-행렬의 구조와 카지르 연관자에 대해 무게 0 보정 항까지 유지함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상대적인 Etingof-Kazhdan 양자화 동형사상은 아핀 Kac-Moody 맥락에서 리브이 부분대수 포함관계를 유지하도록 수정 가능할까?
• RQ2 준-코크세터 카테고리는 아소시아헤드라 위의 2-함수로서 어떻게 형식화될 수 있으며, 일반화된 브레인 군 작용을 포착할 수 있을까?
• RQ3 Manin 삼중체 사슬에 대한 상대적 Etingof-Kazhdan 함수는 무엇이며, 양자 웨일 군 연산자와 어떻게 관련이 있을까?
• RQ4 완비화와 동형사상 하에서 $U_{\hbar}\mathfrak{g}$의 양자 웨일 군 연산자는 $U\mathfrak{g}[[\hbar]]$로 어떻게 전이되는가?
• RQ5 무게 0 상대적 토크와 카지르 연관자는 리브이 부분대수의 구조 간 호환성을 유지하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 리브이 부분대수 포함관계를 유지하는 수정된 Etingof-Kazhdan 동형사상 $\Psi_{i} = \mathrm{Ad}(x) \circ \Psi_{i}^{\mathrm{EK}}$ 이 구축되었으며, 이는 양자 웨일 군 연산자 $S_{i}^{\hbar}$ 를 그 고전적 대응체 $S_{i,C}$ 로 매핑하며 $\hbar$ 모듈로에 대해 구조를 유지한다.
• 동형사상 $\Psi^{\mathrm{EK}}$ 는 리브이 부분대수 포함관계를 유지하지 못하지만, 이 결함은 상대 모노드로미 데이터로부터 유도된 토크 원소 $x$ 로의 공액을 통해 보정된다.
• 양자 카테고리 $\mathcal{O}_{\hbar}$ 와 고전 카테고리 $\mathcal{O}$ 사이에 자연스러운 동치가 준-코크세터 카테고리 간에 수립되었으며, $R$-행렬 $R_B = \exp(\frac{\hbar}{2}\Omega_D)$ 와 연관자 $\Phi_B = 1 \mod \hbar^2$ 를 포함한다.
• 상대적 토크 $J_{\mathcal{F}}^{BB'}$ 는 무게 0 원소임이 입증되어, 양자군의 구조와 브레인 군 작용과의 호환성을 보장한다.
• 수정된 동형사상은 $R$-행렬과 양자 웨일 군 연산자 구조를 유지하며, $S_i^2 = S_{i,C}^2$ 이고 $S_i = \mathrm{Ad}(x)(S_{i,C})$ 가 적분 가능 모듈에서 성립한다.
• 이 구성은 Manin 삼중체 사슬에 대한 상대적 Etingof-Kazhdan 함수를 제공하며, 리브이 부분대수와의 호환성을 포함하는 표준 함수의 일반화를 이룬다.