[논문 리뷰] Quaternionic Monge-Ampere equation and Calabi problem for HKT-manifolds

Semyon Alesker, Misha Verbitsky|arXiv (Cornell University)|2008. 02. 28.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 HKT-메트릭을 지닌 컴act한 히퍼복소 다양체 위에서 퀼레르니언 몽레-아프레 방정식을 도입하며, 칼라비 문제의 퀄레르니언 버전을 제안한다. 올리고노미가 $SL(n,\mathbb{H})$에 포함될 조건 하에 해의 유일성(상수항을 제외하고)과 제0차 사전 추정치를 확립하며, 칼라비-유아 정리와 유사하게 존재성은 추측된다.

ABSTRACT

A quaternionic version of the Calabi problem on Monge-Ampere equation is introduced. It is a quaternionic Monge-Ampere equation on a compact hypercomplex manifold with an HKT-metric. The equation is non-linear elliptic of second order. For a hypercomplex manifold with holonomy in SL(n;H), uniqueness (up to a constant) of a solution is proven, as well as the zero order a priori estimate. The existence of solution is conjectured, similar to Calabi-Yau theorem. We reformulate this quaternionic equation as a special case of a complex Hessian equation, making sense on any complex manifold.

연구 동기 및 목표

• HKT-다양체에 대해 칼라비-유아 정리와 유사한 퀄레르니언 버전의 칼라비 문제를 수립하기 위해.
• 콤팩트한 히퍼복소 다양체 위에서 퀄레르니언 몽레-아프레 연산자를 포함하는 비선형 타원형 이阶 미분방정식의 해법을 연구하기 위해.
• 올리고노미 조건 $\mathrm{Hol}(\nabla_{\mathrm{Obata}}) \subset SL(n,\mathbb{H})$ 하에 해의 유일성(상수항을 제외하고)과 제0차 사전 추정치를 확립하기 위해.
• 퀄레르니언 방정식을 임의의 복소다양체 위에서 유효한 특수한 경우로써의 복소 헤시안 방정식으로 재구성하기 위해.

제안 방법

• HKT-형식 $\Omega$와 실수 값의 매끄러운 함수 $\varphi$에 대해 퀄레르니언 몽레-아프레 방정식을 $(\Omega + \partial\partial_J\varphi)^n = e^f \Omega^n$ 으로 정의한다.
• 연산자 $R$과 $V$를 사용하여 퀄레르니언 구조를 복소다양체 $(M,I)$ 위의 복소 도르베올 캘큘러스와 연결한다.
• 퀄레르니언 방정식을 복소다양체 $(M,I)$ 위의 복소 헤시안 방정식으로 재구성함으로써, 복소기하 기법의 적용을 가능하게 한다.
• 수정된 얀 유형의 추론을 통해 $L^p$-노름과 다양체 위의 소볼레프 부등식을 이용하여 제0차 사전 추정치를 증명한다.
• $\int_M \varphi \cdot \Omega^n \wedge \overline{\Theta} = 0$ 정규화 조건 하에 $\varphi$와 그 기울기의 $L^p$-유계성을 확립하며, 라플라스 연산자의 스펙트럼 갭을 활용한다.
• 모스어 반복과 보간 기법을 적용하여 $p \to \infty$일 때의 $L^p$-유계성에서 균일한 $C^0$-유계성 $||\varphi||_{C^0}$를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 올리고노미가 $SL(n,\mathbb{H})$에 포함될 경우, HKT-메트릭을 지닌 콤팩트한 히퍼복소 다양체 위에서 퀄레르니언 몽레-아프레 방정식 $(\Omega + \partial\partial_J\varphi)^n = e^f \Omega^n$ 이 매끄러운 해를 갖는가?
• RQ2 퀄레르니언 몽레-아프레 방정식의 해가 상수항을 제외하고 유일하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 정규화 조건 하에 $f \in C^0(M)$ 이면 제0차 사전 추정치 $||\varphi||_{C^0} \leq C$ 가 확립될 수 있는가?
• RQ4 퀄레르니언 몽레-아프레 방정식은 어떤 복소다양체 위에서 복소 헤시안 방정식으로 재구성될 수 있는가?

주요 결과

• 올리고노미 조건 $\mathrm{Hol}(\nabla_{\mathrm{Obata}}) \subset SL(n,\mathbb{H})$ 하에 퀄레르니언 몽레-아프레 방정식의 해가 상수항을 제외하고 유일함을 증명하였다.
• 정규화 조건 $\int_M \varphi \cdot \Omega^n \wedge \overline{\Theta} = 0$ 하에 해에 대해 제0차 사전 추정치 $||\varphi||_{C^0} \leq C$ 가 성립하며, 여기서 $C$ 는 $M$, $\Omega$, 및 $||f||_{C^0}$ 에만 의존한다.
• 모든 $p \geq 2$ 에 대해 $||\varphi||_{L^p} \leq Q_1 (C_3 p)^{-2n/p}$ 이 성립하며, 이때 상수들은 $M$, $g_0$, 및 $||f||_{C^0}$ 에만 의존한다.
• $\varphi$ 및 $\nabla\varphi$ 의 $L^p$-유계성은 소볼레프 및 파oincaré 유형의 부등식을 활용하여, 라플라스 연산자의 스펙트럼 갭을 이용해 확립되었다.
• $C^0$-유계성은 극한 $||\varphi||_{C^0} = \lim_{p \to \infty} ||\varphi||_{L^p} \leq Q_1$ 으로 도출되었으며, 이는 균일한 유계성을 확인한다.
• 퀄레르니언 몽레-아프레 방정식은 복소다양체 $(M,I)$ 위에서 복소 헤시안 방정식으로 재구성되었으며, 일반적인 복소다양체에 대한 적용 가능성을 확장하였다.