[논문 리뷰] Quillen equivalences between the model categories of smooth spaces, simplicial sets, and arc-gengerated spaces

Hiroshi Kihara|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 14.

Intracranial Aneurysms: Treatment and Complications참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 단순 복합체, 미분구조 공간, 호로 생성된 공간의 모델 범주 사이에 쿠일렌 동치를 수립하여, 수반 함자들을 통해 그 호모토피 이론들이 동치임을 보여준다. 또한 체인 공간들도 컴act하게 생성된 모델 구조를 지닐 수 있음을 보이고, 체인 공간과 미분구조 공간 사이의 수반 쌍이 쿠일렌 동치임을 보이며, 이로써 이 범주들 사이의 매끄러운 호모토피 이론을 통합한다.

ABSTRACT

In the preceding paper, we have constructed a compactly generated model structure on the category $\dcal$ of diffeological spaces together with the adjoint pairs $|\ |_\dcal : \scal ightleftarrows \dcal : S^\dcal$ and $ ilde{\cdot} : \dcal ightleftarrows \ccal^0 : R$, where $\scal$ and $\ccal^0$ denote the category of simplicial sets and that of arc-generated spaces, respectively. In this paper, we show that $(|\ |_\dcal, S^\dcal)$ and $( ilde{\cdot}, R)$ are pairs of Quillen equivalences. Since our approach developed in the preceding paper applies to the category $\ccal h$ of Chen spaces as well, $\ccal h$ is also a compactly generated model category. We also show that the adjoint pair $\mathfrak{S}_\mathfrak{o} : \ccal h ightleftarrows \dcal : \mathfrak{Ch}^\sharp$ introduced by Stacey is a pair of Quillen equivalences.

연구 동기 및 목표

• 단순 복합체, 미분구조 공간, 호로 생성된 공간의 모델 범주 사이에 쿠일렌 동치를 수립하기.
• 체인 공간에 대해 컴 pact하게 생성된 모델 구조를 확장하고, 그것이 미분구조 공간과 쿠일렌 동치임을 보여주기.
• 스테이시가 제안한 체인 공간과 미분구조 공간 사이의 수반 쌍이 쿠일렌 동치임을 보여주기.
• 호모토피 동치를 통해 다양한 일반화된 매끄러운 공간 범주 간의 매끄러운 호모토피 이론을 통합하기.
• 유도 동치를 통해 무한 차원의 $C^\infty$-다양체의 호모토피 유형을 연구하기 위한 기초를 마련하기.

제안 방법

• 수반 쌍 $|\,|_{\mathcal{D}}: \mathcal{S} \rightleftarrows \mathcal{D} : S^{\mathcal{D}}$ 와 $\tilde{\cdot}: \mathcal{D} \rightleftarrows \mathcal{C}^0 : R$ 를 사용하여 미분구조 공간의 범주에 대해 컴 pact하게 생성된 모델 구조를 구성하기.
• 미분구조 공간에 대해 단순화된 호모로지 이론을 개발하여, 헤토르의 및 일글레시아-제모르의 입방 호모로지와 자연스럽게 동형임을 보여주기.
• 단순화된 호모로지 결과와 미분구조 공간의 피브라시티를 이용하여 수반 쌍 $|\,|_{\mathcal{D}}$ 와 $\tilde{\cdot}$ 가 쿠일렌 동치임을 증명하기.
• 모델 구조 구성 과정을 체인 공간으로 확장하여 $\mathcal{C}h$ 가 컴 pact하게 생성된 모델 범주임을 증명하기.
• 단순화된 단위와 초기 구조의 보존을 통해 스테이시 수반 쌍 $\mathfrak{S}_{\mathfrak{o}}: \mathcal{C}h \rightleftarrows \mathcal{D} : \mathfrak{Ch}^{\sharp}$ 가 쿠일렌 동치임을 보여주기.
• 모든 네 범주 $\mathcal{S}$, $\mathcal{C}h$, $\mathcal{D}$, $\mathcal{C}^0$ 를 연결하는 쿠일렌 동치의 교환도형을 수립하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수반 쌍 $|\,|_{\mathcal{D}}: \mathcal{S} \rightleftarrows \mathcal{D} : S^{\mathcal{D}}$ 와 $\tilde{\cdot}: \mathcal{D} \rightleftarrows \mathcal{C}^0 : R$ 는 각각의 모델 범주 사이에서 쿠일렌 동치인가?
• RQ2 체인 공간의 범주 $\mathcal{C}h$ 는 그 매끄러운 구조와 호환되는 컴 pact하게 생성된 모델 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ3 스테이시 수반 쌍 $\mathfrak{S}_{\mathfrak{o}}: \mathcal{C}h \rightleftarrows \mathcal{D} : \mathfrak{Ch}^{\sharp}$ 는 쿠일렌 동치인가?
• RQ4 미분구조 공간 $\mathcal{D}$ 의 코프리미티브 객체들의 호모토피 유형은 단순화된 호모로지와 호모토피 군과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 $S^{\mathcal{D}}(X,Y)$ 가 미분구조 공간 $X,Y$ 에 대해 $S^{\mathcal{C}^0}(\tilde{X},\tilde{Y})$ 와 호모토피 동치가 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 수반 쌍 $|\,|_{\mathcal{D}}: \mathcal{S} \rightleftarrows \mathcal{D} : S^{\mathcal{D}}$ 는 쿠일렌 동치이며, 단순 복합체와 미분구조 공간 사이의 호모토피 동치를 수립한다.
• 수반 쌍 $\tilde{\cdot}: \mathcal{D} \rightleftarrows \mathcal{C}^0 : R$ 는 쿠일렌 동치이며, 미분구조 공간과 호로 생성된 공간을 연결한다.
• 체인 공간 $\mathcal{C}h$ 는 컴 pact하게 생성된 모델 구조를 지니며, 이는 매끄러운 호모토피 이론을 위한 타당한 호모토피 범주임을 의미한다.
• 스테이시 수반 쌍 $\mathfrak{S}_{\mathfrak{o}}: \mathcal{C}h \rightleftarrows \mathcal{D} : \mathfrak{Ch}^{\sharp}$ 는 쿠일렌 동치이며, 체인 공간과 미분구조 공간을 호모토피 이론에서 통합한다.
• $\tilde{\cdot}$ 와 $R$ 의 유도 함자들이 $\mathcal{D}$ 와 $\mathcal{C}^0$ 사이의 쿠일렌 호모토피 범주를 동치로 이룹니다만, 반드시 매핑 공간들 사이의 동치를 뜻하지는 않습니다.
• 미분구조 공간의 단순화된 호모로지는 헤토르의 및 일글레시아-제모르의 입방 호모로지와 자연스럽게 동형이며, 이는 이 맥락에서 호모로지 이론의 타당성을 검증한다.