[논문 리뷰] r-extended Lah-Bell numbers and polynomials associated with r-Lah numbers

Dae San Kim, Taekyun Kim|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 14.

Advanced Algebra and Logic참고 문헌 9인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 라흐 수의 조합적 확장으로서 r-확장 라흐-벨 수와 다항식을 도입하며, 평균 파라미터 α인 포아송 확률변수 X에 대해 X+2r의 상승 계승모멘트와의 연결고리를 설정한다. 생성함수와 유마브 해석학을 사용하여 재귀관계, 도반스키 유사 공식 및 모멘트 항등식을 도출하며, X+2r의 n번째 상승 계승모멘트가 α에서 평가된 r-확장 라흐-벨 다항식과 같음을 증명한다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to study some basic properties of the r$-extended Lah-Bell numbers and polynomials associated with r-Lah numbers and to show the connection between the r-extended Lah-Bell polynomials and the rising factorial moments of the Poisson random variable shifted by an even nonnegative integer 2r. Here the nth r-extended Lah-Bell number counts the number of ways a set of n+r elements can be partitioned into non-empty linearly ordered subsets such that r distinguished elements have to be in distinct linearly ordered subsets and the r-extended Lah-Bell polynomials are natural extensions of the r-extended Lah-Bell numbers.

연구 동기 및 목표

• r-라흐 수의 자연스러운 확장으로서 r-확장 라흐-벨 수와 다항식을 정의하고 연구하는 것.
• r-확장 라흐-벨 수와 다항식에 대한 재귀관계와 생성함수를 유도하는 것.
• r-확장 라흐-벨 수와 r-확장 벨 수 사이의 연결고리, 그리고 r-라흐 수와 제2종 스틸링 다항식 사이의 연결고리를 설정하는 것.
• 포아송 분포를 따르는 X에 대해 X+2r의 상승 계승모멘트와 r-확장 라흐-벨 다항식 사이의 새로운 연결고리를 보여주는 것.

제안 방법

• r-확장 라흐-벨 수를 k에 대해 r-라흐 수의 합으로 정의: $ B_{n,r}^{L} = \sum_{k=0}^{n} L_r(n,k) $.
• r-확장 라흐-벨 다항식의 지수 생성함수 유도: $ \sum_{n=0}^{\infty} B_{n,r}^{L}(x) \frac{t^n}{n!} = \exp\left( x\left( \frac{1}{1-t} - 1 \right) \right) \left( \frac{1}{1-t} \right)^{2r} $.
• 확률 생성함수를 사용하여 $ E[\langle X+2r\rangle_n] $과 $ B_{n,r}^{L}(\alpha) $ 사이의 관계를 설정하며, 여기서 X ~ Poisson(α).
• 제1종 및 제2종 스틸링 수를 포함한 역행렬 공식과 유마브 해석학을 적용하여 r-라흐 수를 스틸링 다항식으로 표현하고, 그 반대로도 표현하는 것.
• r-라흐 수에 대한 커플라션 항등식 수립: $ \binom{m+k}{m} L_{2r}(n,m+k) = \sum_{l=m}^{n-k} \binom{n}{l} L_r(l,m) L_r(n-l,k) $.
• 생성함수 항등식과 모멘트 생성함수를 사용하여 r-확장 라흐-벨 수와 다항식에 대한 도반스키 유사 공식을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 r-확장 라흐-벨 수와 다항식는 체계적으로 어떻게 정의되고 조합적·해석적으로 특성화될 수 있는가?
• RQ2 r-확장 라흐-벨 다항식의 생성함수는 무엇이며, 포아송 분포와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 r-확장 라흐-벨 수는 r-확장 벨 수와 스틸링 다항식의 제2종과 어떻게 연결되어 있는가?
• RQ4 X+2r의 상승 계승모멘트는 r-확장 라흐-벨 다항식을 통해 조합적 또는 확률적으로 어떻게 해석될 수 있는가?
• RQ5 r-확장 라흐-벨 수에 대해 재귀관계와 도반스키 유사 공식을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 포아송 확률변수 X에 대해 X+2r의 상승 계승모멘트 $ E[\langle X+2r\rangle_n] $는 α에서 평가된 r-확장 라흐-벨 다항식과 같다: $ E[\langle X+2r\rangle_n] = B_{n,r}^{L}(\alpha) $.
• r-확장 라흐-벨 다항식의 생성함수는 $ \sum_{n=0}^{\infty} B_{n,r}^{L}(x) \frac{t^n}{n!} = \exp\left( x\left( \frac{1}{1-t} - 1 \right) \right) \left( \frac{1}{1-t} \right)^{2r} $이다.
• r-확장 라흐-벨 수에 대한 도반스키 유사 공식이 유도되었으며: $ B_{n,r}^{L} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} (-1)^{k-j} \frac{(n+r)!}{(n+r-j)!} $, 비록 정확한 형태는 생성함수에 암묵적으로 포함되어 있다.
• r-확장 라흐-벨 수는 재귀관계 $ B_{n,r}^{L} = \sum_{k=0}^{n} L_r(n,k) $를 만족하며, 여기서 $ L_r(n,k) $는 n+r개의 원소를 k+r개의 순서 있는 블록으로 분할하고, r개의 특수 원소가 서로 다른 블록에 포함되도록 하는 조합적 분할로 정의된다.
• $ B_{n,r}^{L}(\alpha) $에 대한 명시적 표현이 다음과 같이 주어진다: $ \sum_{l=0}^{n} \sum_{k=l}^{n} L_r(n,k) S_1(k,l) B_l(\alpha) $, 여기서 $ B_l(\alpha) $는 벨 다항식이다.
• r-라흐 수에 대한 커플라션 항등식이 확립되었다: $ \binom{m+k}{m} L_{2r}(n,m+k) = \sum_{l=m}^{n-k} \binom{n}{l} L_r(l,m) L_r(n-l,k) $.