[논문 리뷰] Rademacher complexity of noisy quantum circuits

Kaifeng Bu, Dax Enshan Koh외 3명|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 04.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 33인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 혼합 유니타리 노이즈 모델(예: 분해산화 및 위상 분해 채널 포함)을 고려하여 노이즈가 양자 회로의 라데마처 복잡도에 미치는 영향을 분석한다. 노이즈가 없는 회로의 복잡도와 회로의 자유 강건성에 의존하는 노이즈가 있는 회로의 라데마처 복잡도에 대한 하한을 유도하며, 노이즈가 라데마처 복잡도를 항상 감소시켜 NISQ 장치에서 양자 기계학습 모델의 일반화 능력을 제한함을 보여준다.

ABSTRACT

Noise in quantum systems is a major obstacle to implementing many quantum algorithms on large quantum circuits. In this work, we study the effects of noise on the Rademacher complexity of quantum circuits, which is a measure of statistical complexity that quantifies the richness of classes of functions generated by these circuits. We consider noise models that are represented by convex combinations of unitary channels and provide both upper and lower bounds for the Rademacher complexities of quantum circuits characterized by these noise models. In particular, we find a lower bound for the Rademacher complexity of noisy quantum circuits that depends on the Rademacher complexity of the corresponding noiseless quantum circuit as well as the free robustness of the circuit. Our results show that the Rademacher complexity of quantum circuits decreases with the increase in noise.

연구 동기 및 목표

• 근접한 양자 장치에서의 노이즈가 양자 회로의 통계적 복잡도에 미치는 영향을 이해하는 것, 특히 양자 기계학습의 맥락에서.
• 기존의 라데마처 복잡도 분석이 아직까지는 노이즈가 없는 양자 회로에만 초점이 맞춰져 있다는 격차를 메우는 것.
• 노이즈가 양자 기계학습 모델의 일반화 오차 한계에 미치는 영향을 분석하여 노이즈가 라데마처 복잡도를 어떻게 감소시키는지 정량화하는 것.
• 혼합 유니타리 노이즈 모델 하에서 노이즈가 있는 양자 회로의 라데마처 복잡도에 대한 상한과 하한의 이론적 경계를 수립하는 것.
• 복잡도 감소를 회로의 자유 강건성과 연결하여 노이즈에 대한 내성에 대한 자원 이론적 해석을 제공하는 것.

제안 방법

• 노이즈를 혼합 유니타리 채널로 모델링한다. 즉, 유니타리 연산의 볼록 조합으로, 분해산화 및 위상 분해 채널 포함.
• 노이즈 채널의 가역성과 라데마처 복잡도의 경계를 유도하기 위해 복구 맵의 개념을 사용한다.
• 양자 채널의 자유 강건성을 노이즈에 대한 저항력의 척도로 사용하여, 라데마처 복잡도의 하한과 연결한다.
• 벡터화된 복구 맵의 1-노름의 역수를 사용하여 노이즈가 있는 회로의 라데마처 복잡도에 대한 하한을 유도한다: $\|\vec{v}(\mathcal{E}_R)\|_1^{-1}$.
• 다른 노이즈 수준에서의 라데마처 복잡도 간의 재귀적 관계를 수립하여, 노이즈가 증가할수록 복잡도가 감소함을 보여준다.
• 자원 파rameter가 유한한 구조적 양자 회로에 이러한 경계를 적용하고, $\vec{\mu}_{1,\infty}$-노름을 사용하여 회로 복잡도를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 혼합 유니타리 채널로 모델링된 노이즈가 양자 회로의 라데마처 복잡도에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 노이즈가 없는 회로의 복잡도와 노이즈 내성 측도를 기반으로 하여 노이즈가 있는 양자 회로의 라데마처 복잡도에 대한 하한을 표현할 수 있는가?
• RQ3 양자 채널의 자유 강건성이 노이즈에 대한 통계적 복잡도의 내성에 영향을 미치는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 특정 노이즈 모델—예를 들어 분해산화 및 위상 분해 채널—이 양자 회로의 라데마처 복잡도에 정량적으로 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 노이즈 채널에 대해 복구 맵이 존재할 경우, 해당 노이즈 회로의 라데마처 복잡도에 대한 하한 경계가 얼마나 향상되는가?

주요 결과

• 노이즈가 있는 양자 회로의 라데마처 복잡도는 노이즈가 없는 회로의 복잡도에 의해 항상 상한으로 제한되며, 이는 노이즈로 인한 통계적 복잡도 감소를 시사한다.
• 노이즈가 없는 회로의 복잡도와 채널의 자유 강건성에 의존하는 비자명한 하한이 노이즈가 있는 회로의 라데마처 복잡도에 도출된다.
• 분해산화 채널의 경우, 라데마처 복잡도의 하한은 $1 - 6\epsilon$에 비례하며, 여기서 $\epsilon$은 노이즈 강도이다. 이는 노이즈가 증가할수록 상당한 감소를 보여준다.
• 복구 맵의 1-노름 벡터화를 사용하여 유도된 경계는 일반 경계보다 더 날카롭게, 특히 $\|\vec{v}(\mathcal{E}_R)\|_1^{-1} \geq \frac{1-4\epsilon}{1+2\epsilon}$인 분해산화 채널의 경우 더욱 뚜렷하다.
• 위상 분해 채널의 경우, 복구 맵 기반 경계는 일반 경계와 일치하며, 이는 자유 강건성 측도가 이 경우 최악의 노이즈 영향을 잘 반영하고 있음을 시사한다.
• 자원 파rameter가 유한한 구조적 노이즈가 있는 회로의 라데마처 복잡도는 $\prod_{ij}\left(\frac{1-4\epsilon_{ij}}{1+2\epsilon_{ij}}\right)^{n_{ij}} R_S(\mathcal{F} \circ \mathcal{C}^{\mathcal{A}}_{\vec{\mu}_{1,\infty} \leq \vec{\mu}}) \leq R_S(\mathcal{F} \circ \mathcal{C}^{\mathcal{A},\text{noisy}}_{\vec{\mu}_{1,\infty} \leq \vec{\mu}})$를 만족하며, 이는 노이즈 강도와 출력 큐비트 수에 따라 곱으로 감소함을 보여준다.