[논문 리뷰] Radial Convex Solutions of Boundary Value Problems for Systems of Monge-Ampere equations

Haiyan Wang|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 26.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Krasnoselskii의 고정점 정리에 기반하여 단위 구 내에서 약하게 결합된 Monge-Ampère 방정식계에 대한 비자명한 반경대칭 볼록 해의 존재성, 다중성 및 비존재성을 규명한다. 주요 결과는 비선형성 $ f $ 및 $ g $ 가 영과 무한대에서 점 游의 성장률에 따라 해의 행동이 결정되며, 파ameter에 의존하는 임계값 $ \lambda_0 $ 가 해의 존재 여부를 결정함을 보여준다. 이는 하향 또는 상향 성장의 경우에 따라 다르게 적용된다.

ABSTRACT

The existence, multiplicity and nonexistence of nontrivial radial convex solutions of a system of two weakly coupled Monge-Ampere equations are established with asymptotic assumptions for an appropriately chosen parameter. The proof of the results is based on Krasnoselskii's fixed point theorem in a cone.

연구 동기 및 목표

• 단위 구 내에서 두 개의 약하게 결합된 Monge-Ampère 방정식계에 대한 비자명한 반경대칭 볼록 해의 존재성, 다중성 및 비존재성을 분석하는 것.
• 비선형성 $ f $ 및 $ g $ 가 영과 무한대에서 점 游의 행동이 이러한 해의 존재성에 어떻게 영향을 미치는지 규명하는 것.
• 해의 존재 여부가 $ f $ 및 $ g $ 의 성장 유형에 따라 달라지는 파ameter에 의존하는 임계값 $ \lambda_0 $ 를 설정하는 것.

제안 방법

• 원래의 경계값 문제를 $ v_i = -u_i $ 라는 치환을 통해 등가의 적분 방정식계로 변환하며, 이는 양수이자 오목 함수의 코너 내에서의 문제로 변환된다.
• 해의 고정점 형태를 확보하기 위해 연산자 $ \mathbf{T}_\lambda $ 에 Krasnoselskii의 고정점 정리를 코너에 적용한다.
• 함수의 코너를 $ v_i' \leq 0 $, $ v_i(1) = 0 $, $ v_i(0) \geq 0 $ 를 만족하도록 정의하여 원래의 $ u_i $ 가 볼록함을 보장한다.
• 고정점 존재성을 분석하기 위해 $ \| (v_1, v_2) \| = \max\{ \|v_1\|, \|v_2\| \} $ 를 사용하여 링형 영역 $ \Omega_{r_i} \setminus \overline{\Omega_{r_j}} $ 에서 분석한다.
• 고정점 정리를 적용하기 위해 코너 내의 공형에서 연산자 $ \mathbf{T}_\lambda $ 의 행동을 분석하여 노름 비교에서 엄격한 부등식을 활용한다.
• 비선형성 $ f $ 및 $ g $ 의 극한값 $ f_0, f_\infty, g_0, g_\infty $ 에 기반한 추정을 통해 연산자를 유계화하고 모순 또는 존재 조건을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형성 $ f $ 및 $ g $ 가 영과 무한대에서 점 游의 성장률에 따라 약하게 결합된 Monge-Ampère 방정식계가 비자명한 반경대칭 볼록 해를 가질 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 파ameter $ \lambda $ 는 이러한 해의 존재성과 다중성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 여러 개의 비자명한 반경대칭 볼록 해가 동시에 존재할 수 있으며, 이는 $ f $ 및 $ g $ 의 성장 조건에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 해의 존재 여부가 $ \lambda > \lambda_0 $ 또는 $ \lambda < \lambda_0 $ 인지에 따라 결정되는 정확한 임계값 $ \lambda_0 $ 는 무엇인가?
• RQ5 비자명한 반경대칭 볼록 해가 존재하지 않는 경우는 언제이며, 이러한 비존재를 초래하는 $ f $ 및 $ g $ 의 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 만약 $ f_0 = g_0 = 0 $ 이고 $ f_\infty = g_\infty = \infty $ 이면, 모든 $ \lambda > 0 $ 에 대해 비자명한 볼록 해가 존재한다.
• 만약 $ f_0 = g_0 = \infty $ 이고 $ f_\infty = g_\infty = 0 $ 이면, 모든 $ \lambda > 0 $ 에 대해 비자명한 볼록 해가 존재한다.
• 만약 $ f_0 = g_0 = f_\infty = g_\infty = 0 $ 이면, 모든 $ \lambda > \lambda_0 $ 에 대해 두 개의 서로 다른 비자명한 볼록 해가 존재하며, 이때 $ \lambda_0 > 0 $ 이다.
• 만약 $ f_0 = g_0 = f_\infty = g_\infty = \infty $ 이면, 모든 $ 0 < \lambda < \lambda_0 $ 에 대해 두 개의 서로 다른 비자명한 볼록 해가 존재하며, 이때 $ \lambda_0 > 0 $ 이다.
• 만약 $ f_0, g_0, f_\infty, g_\infty < \infty $ 이면, $ 0 < \lambda < \lambda_0 $ 에서 비자명한 볼록 반경대칭 해가 존재하지 않으며, 이때 $ \lambda_0 = (1/(2\varepsilon))^N $ 이고 $ \varepsilon $ 는 $ f $ 와 $ g $ 의 성장 범위에 따라 결정된다.
• 만약 $ f_0, g_0, f_\infty, g_\infty > 0 $ 이면, $ \lambda > \lambda_0 $ 에서 비자명한 볼록 반경대칭 해가 존재하지 않으며, 이때 $ \lambda_0 = (1/(\Gamma \varepsilon))^N $ 이고 $ \varepsilon $ 는 $ f $ 와 $ g $ 의 하한에 따라 결정된다.