[논문 리뷰] Rainbow connections for planar graphs and line graphs

Xiaolong Huang, Xueliang Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 14.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 평면 그래프와 선 그래프에서 레인보우 연결의 계산 복잡도를 규명하며, 평면 이분 그래프와 선 그래프일지라도 레인보우 연결을 결정하는 것이 여전히 NP-완전임을 증명한다. 또한 직경이 작은 외평면 그래프에 대한 레인보우 연결 수의 날카운 상한을 제시하여, 직경 2인 경우 rc(G) ≤ 3이고, 직경 3인 다리가 없는 외평면 그래프의 경우 ≤ 6임을 보인다.

ABSTRACT

An edge-colored graph $G$ is rainbow connected if any two vertices are connected by a path whose edges have distinct colors. The rainbow connection number of a connected graph $G$, denoted by $rc(G)$, is the smallest number of colors that are needed in order to make $G$ rainbow connected. It was proved that computing $rc(G)$ is an NP-Hard problem, as well as that even deciding whether a graph has $rc(G)=2$ is NP-Complete. It is known that deciding whether a given edge-colored graph is rainbow connected is NP-Complete. We will prove that it is still NP-Complete even when the edge-colored graph is a planar bipartite graph. We also give upper bounds of the rainbow connection number of outerplanar graphs with small diameters. A vertex-colored graph is rainbow vertex-connected if any two vertices are connected by a path whose internal vertices have distinct colors. The rainbow vertex-connection number of a connected graph $G$, denoted by $rvc(G)$, is the smallest number of colors that are needed in order to make $G$ rainbow vertex-connected. It is known that deciding whether a given vertex-colored graph is rainbow vertex-connected is NP-Complete. We will prove that it is still NP-Complete even when the vertex-colored graph is a line graph.

연구 동기 및 목표

• 모서리 색이 칠해진 평면 이분 그래프가 레인보우 연결되어 있는지 여부를 결정하는 문제의 계산 복잡도를 규명하는 것.
• 모서리 색이 칠해진 선 그래프에서 레인보우 정점 연결의 복잡도를 조사하는 것.
• 직경을 기반으로 다리가 없는 외평면 그래프에 대한 레인보우 연결 수의 날카운 상한을 설정하는 것.
• 기존의 NP-완전성 결과를 더 제한된 그래프 계열, 즉 평면 그래프와 선 그래프로 확장하는 것.
• 희박하고 기하학적으로 제약된 그래프 가족 내에서 레인보우 연결의 구조적 통찰을 제공하는 것.

제안 방법

• 모서리 색이 칠해진 일반 레인보우 연결 문제에서 평면 이분 그래프로 다항 시간 내의 환원을 구성하기 위해 모서리를 분할하고 색 구조를 유지하는 방식.
• 일반적인 NP-완전 문제에서의 환원을 통해 평면 이분 그래프에서 모서리 색이 칠해진 레인보우 연결의 NP-완전성을 증명하는 것.
• 직경이 작은 외평면 그래프의 구조를 분석하여 지배 집합과 색채 구성을 식별하고, 레인보우 연결 수를 제한하는 것.
• 기저 그래프 G에서 낟새가 있는 정점이 있는 그래프에서 선 그래프 $G'$를 구성하여, 정점 색칠을 통해 모서리 색칠을 시뮬레이션하고 레인보우 연결 성질을 유지하는 것.
• 선 그래프 $G'$에 정점 색칠 $c'$를 정의하여, $G$의 모서리 색상이 $G'$의 정점 색상에 대응되도록 하고, $G$와 $G'$에서의 레인보우 연결성 간의 동치성을 보이는 것.
• 정점 인접성과 경로 존재성에 기반한 구조적 추론을 사용하여, $G'$에서의 레인보우 정점 연결성이 $G$에서의 레인보우 연결성을 유도함을 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모서리 색이 칠해진 평면 이분 그래프에서 레인보우 연결 여부를 결정하는 문제는 NP-완전인가?
• RQ2 선 그래프에서 레인보우 정점 연결 여부를 결정하는 문제는 NP-완전인가?
• RQ3 다리가 없는 외평면 그래프 중 직경이 2인 그래프의 최대 레인보우 연결 수는 얼마인가?
• RQ4 다리가 없는 외평면 그래프 중 직경이 3인 그래프의 최대 레인보우 연결 수는 얼마인가?
• RQ5 모서리 색이 칠해진 레인보우 연결 문제를 복잡도를 유지하면서 정점 색이 칠해진 선 그래프로 환원할 수 있는가?

주요 결과

• 모서리 색이 칠해진 평면 이분 그래프가 레인보우 연결되어 있는지 여부를 결정하는 것은 NP-완전이다.
• 정점 색이 칠해진 선 그래프가 레인보우 정점 연결되어 있는지 여부를 결정하는 것은 NP-완전이다.
• 다리가 없는 외평면 그래프 중 직경이 2인 그래프의 경우, 레인보우 연결 수는 3 이하이다.
• 다리가 없는 외평면 그래프 중 직경이 3인 그래프의 경우, 레인보우 연결 수는 6 이하이다.
• 그래프의 레인보우 연결 수는 직경에 의해 아래에서 유계이며, $n-1$ 이하로 유계이며, 외평면 그래프에 대해서는 날카운 상한이 확립되었다.
• 모서리 색이 칠해진 그래프에서 정점 색이 칠해진 선 그래프로의 환원은 레인보우 연결 성질을 유지하며, 이는 복잡도 동치성을 확립한다.