[논문 리뷰] Rank one matrices do not contribute to the failure of the finiteness property

Ian D. Morris|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 21.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 랭크-1 행렬이 공동 스펙트럴 반경의 유한성 성질 실패에 기여하지 않는다는 것을 입증한다. 만약 유한한 행렬 집합이 유한성 성질을 갖지 못한다면, 그 집합의 랭크가 2 이상인 행렬들로 이루어진 부분집합 역시 동일한 공동 스펙트럴 반경을 가지며 유한성 성질을 상실하며, 이는 비-랭크-1 행렬이 이러한 실패에 필수적임을 시사한다.

ABSTRACT

The joint spectral radius of a bounded set of d times d real or complex matrices is defined to be the maximum exponential rate of growth of products of matrices drawn from that set. A set of matrices is said to satisfy the finiteness property if this maximum rate of growth occurs along a periodic infinite sequence. In this note we give some sufficient conditions for a finite set of matrices to satisfy the finiteness property in terms of its rank one elements. We show in particular that if a finite set of matrices does not satisfy the finiteness property, then the subset consisting of all matrices of rank at least two is nonempty, does not satisfy the finiteness property, and has the same joint spectral radius as the original set. We also obtain an exact formula for the joint spectral radii of sets of matrices which contain at most one element not of rank one, generalising a recent result of X. Dai.

연구 동기 및 목표

• 공동 스펙트럴 반경에 대한 유한성 성질 실패에서 랭크-1 행렬의 역할을 조사하는 것.
• 행렬 집합에서 유한성 성질의 결여가 랭크-1 요소 때문일 수 있는지 판단하는 것.
• 특히 하나의 행렬만 랭크 ≥2를 갖는 경우에, 유한성 성질이 성립하는 조건을 설정하는 것.
• X. Dai가 최근에 발표한 랭크-1 행렬이 하나인 두 행렬 조합에 대한 결과를 일반화하는 것.
• 반면에, 유한성 성질에 대한 반례에서 높은 랭크의 행렬들이 필수적인 구조적 역할을 하는지 명확히 하는 것.

제안 방법

• 연산자 노름과 곱의 스펙트럴 반경을 통한 공동 스펙트럴 반경 정의를 사용한다.
• 특성: $\varrho(\mathsf{A}) = \inf_{n \geq 1} \sup_{A \in \mathsf{A}_n} \|A\|^{1/n}$을 적용하며, $\mathsf{A}_n$은 길이 $n$인 모든 곱의 집합이다.
• 행렬 차원 $d$에 대한 귀납법을 사용하여, 레마 2.1을 통해 문제를 낮은 차원의 블록으로 환원한다.
• 극단적 노름이 존재하지 않을 경우 유사성 변환 하에서 행렬을 블록 상삼각형 형태로 분해하는 것을 활용하며, 가역적 $U$를 사용해 $A_i$를 $B_i$, $C_i$, $D_i$ 블록으로 분해한다.
• 블록 간의 스펙트럴 반경과 공동 스펙트럴 반경을 비교하여, $\varrho(\mathsf{A}) = \max\{\varrho(\mathsf{B}), \varrho(\mathsf{D})\}$임을 보인다.
• 낮은 차원의 블록 $\mathsf{B}$에 대해 귀납을 적용하여, 동일한 조건 하에서 $\mathsf{B}$에서 유한성 성질이 성립함을 보장하고, 그 결과를 다시 $\mathsf{A}$로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한성 성질의 실패가 랭크-1 행렬들 때문일 수 있는가?
• RQ2 행렬 집합의 공동 스펙트럴 반경과 그 랭크-1 및 랭크 ≥2 성분의 공동 스펙트럴 반경 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 행렬 집합에 랭크 ≥2를 갖는 행렬이 딱 하나일 경우, 유한성 성질이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 오직 랭크-1 행렬들만 존재할 경우, 유한성 성질은 유지되거나 파괴되는가?
• RQ5 행렬 집합에 최대 하나의 랭크 ≥2 행렬이 포함되어 있을 경우, 공동 스펙트럴 반경이 오직 랭크-1 행렬들로 이루어진 주기적 곱을 통해 달성될 수 있는가?

주요 결과

• 유한한 행렬 집합 $\mathsf{A}$가 유한성 성질을 상실한다면, 그 집합의 랭크가 2 이상인 행렬들로 이루어진 부분집합 $\mathsf{R}$ 역시 유한성 성질을 상실한다.
• 행렬 집합 $\mathsf{A}$의 공동 스펙트럴 반경은 $\mathsf{R}$의 공동 스펙트럴 반경과 동일하다. 즉, $\varrho(\mathsf{A}) = \varrho(\mathsf{R})$이다.
• 행렬 집합 $\mathsf{A}$가 유한성 성질을 상실한다면, $\mathsf{R}$은 최소 두 개의 원소를 가져야 한다.
• 모든 유한한 집합 $\mathsf{A}$에서 랭크 ≥2인 행렬이 최대 하나일 경우, 공동 스펙트럴 반경은 각 랭크-1 행렬이 최대 한 번씩만 나타나는 행렬의 곱을 통해 달성된다.
• 두 행렬 중 하나가 랭크-1일 경우, 공동 스펙트럴 반경은 $\rho(B)$ 또는 $\rho(AB^n)^{1/(n+1)}$ (어떤 $n \geq 0$에 대해)이며, 이는 X. Dai의 결과를 일반화한 것이다.
• 집합 $\mathsf{R}$이 공집이거나 $\varrho(\mathsf{R}) < \varrho(\mathsf{A})$일 경우, 유한성 성질은 $\mathsf{A}$에서 성립하며, 이는 반복 횟수가 제한된 랭크-1 행렬들로만 이루어진 곱을 통해 달성된다.