[논문 리뷰] Rational points on solvable curves over $\mathbb{Q}$ via non-abelian Chabauty

Jordan S. Ellenberg, Daniel Rayor Hast|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 02.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 18인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 ℚ 위의 CM Jacobian을 가진 곡선의 가역적 커버에 대해 Kim의 비아벨리안 Chabauty 방법을 확장하여, 기하학적으로 그러한 곡선을 지배하는 ℚ 위의 모든 매끄럽고 사영인 곡선이 유리점이 유한함을 증명한다. 핵심 결과는 이 방법을 통해 ℚ 위의 모든 슈퍼에일리프틱 곡선이 유한한 유리점을 가짐을 보이며, 이는 이전의 CM Jacobian에 관한 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

We study the Selmer varieties of smooth projective curves of genus at least two defined over $\mathbb{Q}$ which geometrically dominate a curve with CM Jacobian. We extend a result of Coates and Kim to show that Kim's non-abelian Chabauty method applies to such a curve. By combining this with results of Bogomolov-Tschinkel and Poonen on unramified correspondences, we deduce that any cover of $\mathbf{P}^1$ with solvable Galois group, and in particular any superelliptic curve over $\mathbb{Q}$, has only finitely many rational points over $\mathbb{Q}$.

연구 동기 및 목표

• ℚ 위의 곡선에 대해 CM Jacobian을 가진 곡선에 관한 Coates와 Kim의 결과를 더 넓은 곡선의 범주로 일반화하기.
• 기하학적으로 CM Jacobian을 가진 곡선을 지배하는 유한 갈루아 커버를 통해 지배하는 곡선에 대해 비아벨리안 Chabauty 방법이 적용됨을 확립하기.
• 비아벨리안 Chabauty 방법을 사용하여 ℚ 위의 슈퍼에일리프틱 곡선의 유리점의 유한성을 증명하기.
• 비아벨리안 Chabauty 방법의 적용 범위를 확장하기 위해 무분지 대응과 에탈 코버를 연결하기.
• ℚ 위에서 가역군이 가해군인 곡선에 대해 유리점의 유한성을 증명하기 위한 프레임워크 제공하기.

제안 방법

• 유한 갈루아 확장 K/ℚ 위의 곡선 X에서 곡선 Y로의 지배 사상에 관련된 상대 Selmer 다양체 정의하기.
• 유니포텐트 알바노제 사상과 p진 Coleman 함수를 사용하여 Selmer 다양체의 차원 분석하기.
• 비아벨리안 Chabauty 방법을 적용하기 위해 상대 Selmer 다양체의 차원 가설을 확인하고, 고전적 Chabauty 조건과 유사한 조건을 만족시키기.
• 유리점이 Y 위에 있는지에 대해 ℚ 위의 X의 기저 변경과 유리점 사이의 관계를 연결하기 위해 스칼라의 Weil 제한 이용하기.
• X의 Jacobian이 CM을 가짐을 이용하여 Coates–Kim 정리에 의해 차원 가설이 성립함을 보장하기.
• Bogomolov–Tschinkel과 Poonen의 무분지 대응 결과를 결합하여, 슈퍼에일리프틱 곡선을 포함한 많은 곡선이 CM Jacobian을 가진 곡선을 에탈 커버를 통해 지배함을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Kim의 비아벨리안 Chabauty 방법은 자신의 Jacobian이 CM이 아니더라도 CM Jacobian을 가진 곡선을 기하학적으로 지배하는 곡선으로까지 확장 가능한가?
• RQ2 이전 결과에서 다루지 않은 ℚ 위의 슈퍼에일리프틱 곡선에 대해 비아벨리안 Chabauty 방법이 적용 가능한가?
• RQ3 유리점의 유한성은 가해군을 가지는 곡선에 대해 비아벨리안 Chabauty를 사용하여 Faltings의 정리 외에 증명할 수 있는가?
• RQ4 무분지 대응과 에탈 커버는 비아벨리안 Chabauty 방법의 적용 범위를 확장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 유한 갈루아 커버를 통해 CM Jacobian을 가진 곡선을 지배하는 ℚ 위의 모든 곡선에 대해 유리점의 유한성을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 비아벨리안 Chabauty 방법은 ℚ 위의 매끄럽고 사영인 곡선 Y에 대해 적용 가능하며, 이는 유한 갈루아 확장 K/ℚ 위의 곡선 X로의 지배 사상이 존재하고 X의 Jacobian이 CM을 가질 경우에 한하여 성립한다.
• 이 조건 하에서 상대 Selmer 다양체의 차원 가설이 성립하며, 이는 Y 위의 유리점의 유한성을 암시한다.
• genus가 2 이상인 ℚ 위의 모든 슈퍼에일리프틱 곡선은 주요 정리의 조건을 만족하므로, 유한한 유리점을 가진다.
• 이 결과는 이러한 곡선이 Bogomolov–Tschinkel과 Poonen의 결과를 이용해 에탈 커버를 통해 CM Jacobian을 가진 곡선을 지배함을 보여줌으로써 유도된다.
• 잠재적 CM Jacobian을 가진 곡선 X에 대해 C ⇒ X를 만족하는 ℚ 위의 임의의 곡선 C에 대해서도 이 방법이 적용 가능하며, 이는 매우 넓은 곡선의 범주로의 유한성 결과 일반화를 가능하게 한다.
• 이 방법은 효과적인 경계나 유리점 계산 알고리즘을 제공하지는 않지만, 비아벨리안 Chabauty를 통해 유한성을 증명할 수 있는 새로운 구조적 조건을 제시한다.