[논문 리뷰] Ravello Lectures on Geometric Calculus - Part I

Jenny Harrison|arXiv (Cornell University)|2005. 01. 01.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 9인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 스무스 다양체, 프랙탈, 이산 구조를 '자연스러운 노름' 완비를 통해 통합하는 좌표 불변 프레임워크인 기하학적 미적분학(Geometric Calculus)을 소개한다. 이는 바나흐 공간 내 단체 k-체의 극한으로서 전통적인 접선 공간을 대체한다. 결과적으로 '체릿'(chainlets)이라 불리는 바나흐 공간이 형성되며, 이는 스토크스 정리, 최소 표면, 프랙탈 기하학 등에 응용 가능한 새로운, 더 일반적인 미적분학을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In these notes we present a new approach to calculus in which more efficient choices of limits are taken at key points of the development. For example, k-dimensional tangent spaces are replaced by representations of simple k-vectors supported in a point as limits of simplicial k-chains in a Banach space (much like Dirac monopoles). This subtle difference has powerful advantages that will be explored. Through these “infinitesimals”, we obtain a coordinate free theory on manifolds that builds upon the Cartan exterior calculus. An infinite array of approximating theories to the calculus of Newton and Lebiniz becomes available and we can now revisit old philosophical questions such as which models are most natural for the continuum or for physics. Within this new theory of Geometric Calculus are found the classical theory on smooth manifolds, as well as three distinct, new extensions. All three can be seen as part of the space of polyhedral chains completed with respect to what the author calls the “natural norm”. The author calls elements of the Banach space obtained upon completion “chainlets”. We take many viewpoints in mathematics and its applications, be it smooth manifolds, Lipschitz structures, polyhedra, fractals, finite elements, soap films, measures, numerical methods, etc. The choice sets the stage and determines our audience and our methods. No particular viewpoint is “right ” for all applications. The Banach space of chainlets unifies these viewpoints. (1) Discrete Calculus ∗ with convergence to the smooth continnuum, including more general theorems of Stokes, Green and Gauss. (2) Bilayer Calculus with applications to the calculus of variations including Plateau’s problem (soap bubbles). (3) Calculus on Fractals Some aspects of this are contained in the paper [10] and slides prepared for the Caltech meeting in October, 2003 on Discrete Geometry for Mechanics are available on line at

연구 동기 및 목표

• 스무스 다양체에서 전통적인 좌표 기반 접근 방식을 초월하는 새로운 미적분학 기초를 마련하는 것.
• 스무스 다양체, 리프시츠 사상, 다면체, 프랙탈, 유한 요소 등 다양한 기하 구조를 하나의 분석적 프레임워크 안에 통합하는 것.
• 다각형 체에 자연스러운 노름을 도입함으로써 연속체와 물리적 모델에 대한 기초적 질문을 해결하는 것.
• 클래식한 정리들인 스토크스, 그린, 가우스의 정리를 스무스가 아니거나 특이한 영역을 포함하는 더 넓은 공간 클래스로 일반화하는 것.
• 이산 근사와 스무스 연속체로의 극한을 수용할 수 있는 엄밀한 무한차원 설정을 제공함으로써 미적분학을 위한 엄밀한 근거를 마련하는 것.

제안 방법

• 디랙 모노폴의 영향을 받아 바나흐 공간 내 단체 k-체의 극한으로서 k차원 접선 공간을 표현하는 것.
• 다각형 체의 공간에 '자연스러운 노름'을 정의하여 바나흐 공간으로의 완비를 가능하게 하는 것.
• 체릿 위에서 좌표 불변의 외부 미적분학을 정의하여 카르탕 이론을 스무스가 아니거나 특이한 물체로 일반화하는 것.
• 다각형 체를 자연스러운 노름으로 완비함으로써 이산, 이중층, 프랙탈 미적분학 프레임워크를 통합하는 것.
• 이론을 세 가지 확장에 적용하는 것: 이산 미적분학(스무스로 수렴), 이중층 미적분학(변분 문제를 위한), 프랙탈 위의 미적분학.
• 바나흐 공간의 구조를 활용하여 통합과 미분을 정의함으로써 다양한 기하 설정에서 핵심 정리들이 유지되도록 하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스무스가 아니거나 특이한 기하 객체(예: 프랙탈, soapy films)에 대해 미적분학을 정의하는 데 가장 자연스러운 방법은 무엇인가?
• RQ2 클래식한 스토크스, 그린, 가우스의 정리는 스무스가 아니거나 올림스터가 아닌 영역을 포함하도록 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 스무스 다양체, 이산 근사, 프랙탈 기하학을 모두 수용하는 단일 통합 미적분학 프레임워크를 구축할 수 있는가?
• RQ4 다각형 체에 대한 '자연스러운 노름'이 기하학적 미적분학의 일관된 극한 과정을 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 리프시츠 구조, 유한 요소, 측도 등 다양한 기하학적 시각은 체릿 프레임워크 내에서 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 다각형 체를 '자연스러운 노름'으로 완비함으로써 다양한 기하 및 해석적 구조를 통합하는 바나흐 공간의 '체릿'이 도출된다.
• 이론은 카르탕의 프레임워크를 스무스가 아니거나 특이한 물체로 일반화한 좌표 불변의 외부 미적분학을 제공한다.
• 스토크스, 그린, 가우스의 클래식한 정리는 고전적 가정인 스무스성 조건이 성립하지 않는 설정에서도 일반화되어 성립함을 보여준다.
• 이산 미적분학은 체릿의 극한으로서 나타나며, 스무스 연속체로의 수렴과 더 일반화된 클래식한 정리들을 제공한다.
• 변분 문제를 해결하기 위한 새로운 프레임워크인 이중층 미적분학이 도입되었으며, 비눗방울의 플라우티 문제를 포함한다.
• 체릿 프레임워크 내에서 프랙탈 기하학 위의 미적분학이 엄밀하게 정의되어 비정수 차원 집합 위의 통합과 미분이 가능해진다.