[논문 리뷰] Real analyticity of Hausdorff dimension for expanding rational semigroups

Hiroki Sumi, Mariusz Urbański|arXiv (Cornell University)|2007. 07. 17.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 31인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 리만 구면 위의 해석적 가중치를 가진 확장형 유리 함수 반군의 재귀 집합의 하우스도르프 차원의 실해석성과 복소다중하모닉성(플루리서브하모닉성)을 확립한다. 열역학적 형식과 케이토-렐리히 섭동 이론을 압력 함수와 바우언의 공식에 적용하여, 개방 집합 조건 하에서 하우스도르프 차원이 매개변수에 대해 실해석 함수임을 증명하며, 그 예로 2보다 작거나 2보다 큰 경우가 존재함을 명시적으로 보여준다.

ABSTRACT

We consider the dynamics of expanding semigroups generated by finitely many rational maps on the Riemann sphere. We show that for an analytic family of such semigroups, the Bowen parameter function is real-analytic and plurisubharmonic. Combining this with a result obtained by the first author, we show that if for each semigroup of such an analytic family of expanding semigroups satisfies the open set condition, then the function of the Hausdorff dimension of the Julia set is real-analytic and plurisubharmonic. Moreover, we provide an extensive collection of classes of examples of analytic families of semigroups satisfying all the above conditions and we analyze in detail the corresponding Bowen's parameters and Hausdorff dimension function.

연구 동기 및 목표

• 해석적 가중치를 가진 확장형 유리 함수 반군의 재귀 집합에 대한 하우스도르프 차원의 실해석성을 확립한다.
• 개방 집합 조건 없이도 바우언 매개변수 함수가 실해석적이며 복소다중하모닉임을 보인다.
• 개방 집합 조건 하에서 하우스도르프 차원이 매개변수에 대해 실해석적이며 복소다중하모닉 함수임을 보인다.
• 하우스도르프 차원이 2보다 엄격히 작거나 큰 경우가 존재하는 해석적 가중치의 예를 제시한다.
• 섭동 이론을 사용하여 압력 함수와 그 매개변수에 대한 의존성 분석

제안 방법

• 압력 함수와 바우언의 매개변수를 압력의 유일한 영점으로 정의하기 위해 열역학적 형식과 압력 함수를 사용한다.
• 복소 매개변수에서의 압력 함수의 실해석성을 증명하기 위해 케이토-렐리히 섭동 이론을 적용한다.
• 암묵함수정리(implicit function theorem)를 사용하여 바우언 매개변수 함수의 실해석성을 도출한다.
• 개방 집합 조건 하에서 바우언 매개변수와 하우스도르프 차원 사이의 관계를 바우언의 공식을 통해 이용한다.
• 해석적 가중치에서 페론-프로베니우스 유형의 연산자를 이용해 스펙트럼 성질을 연구한다.
• 비대칭 프로덕트 동역학과 구조적 안정성의 결과를 적용하여 확장성과 개방 집합 조건를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해석적 가중치의 확장형 유리 함수 반군의 재귀 집합에 대한 하우스도르프 차원이 매개변수에 대해 실해석적인가?
• RQ2 바우언 매개변수 함수가 실해석적이며 복소다중하모닉이 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 해석적 가중치의 확장형 유리 함수 반군에서 재귀 집합의 하우스도르프 차원이 2를 초과할 수 있는가?
• RQ4 하우스도르프 차원이 2보다 엄격히 작은 데 필요한 충분한 조건는 무엇인가?
• RQ5 개방 집합 조건은 하우스도르프 차원 함수의 해석성과 값에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 개방 집합 조건이 성립할 경우, 재귀 집합의 하우스도르프 차원은 매개변수에 대해 실해석적이며 복소다중하모닉이다.
• 개방 집합 조건 없이도 바우언 매개변수 함수는 실해석적이며 복소다중하모닉이다.
• 예를 들어 다항식 생성자 z^{d_j}에 대해 ∑1/d_j < 1 이면, 하우스도르프 차원이 2보다 엄격히 작은 해석적 가중치의 가중치가 존재한다.
• 예를 들어 생성자 z^m이 s개 존재하고 s > m 이면, 하우스도르프 차원이 2를 초과하는 해석적 가중치의 가중치가 존재한다.
• z^{d_j} 근처의 일반적인 가중치에서, ∑1/d_j < 1 이면, 열린 집합에서 하우스도르프 차원은 2보다 엄격히 작다.
• i ≠ j 일 때 m_2(g_i^{-1}(J(G)) ∩ g_j^{-1}(J(G))) > 0 이면, δ(g) > 2 이고, 이는 이웃 영역에서도 유지된다.