[논문 리뷰] Real-frequency quantum field theory applied to the single-impurity Anderson model

Anxiang Ge, Nepomuk Ritz외 4명|arXiv (Cornell University)|2023. 07. 20.

Physics of Superconductivity and Magnetism참고 문헌 118인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 단일 임플랜트 안드레슨 모형에서의 동적 상관 함수를 계산하기 위해 켈디시 형식을 사용하는 실주파수 양자장이론 프레임워크를 제안한다. 일중 루프 기능적 보존군(fRG)과 완전한 세 주파수 의존성을 갖는 4점 꼬리의 자가일관성 파레트 방정식을 적용하여, 이전의 fRG 방법에 비해 훨씬 높은 정확도를 달성하였고, 특히 약한에서 중간 강도의 결합 영역(u < 1)에서 수치적 보존군(NRG) 기준과 가장 잘 일치한다.

ABSTRACT

A major challenge in the field of correlated electrons is the computation of dynamical correlation functions. For comparisons with experiment, one is interested in their real-frequency dependence. This is difficult to compute, as imaginary-frequency data from the Matsubara formalism require analytic continuation, a numerically ill-posed problem. Here, we apply quantum field theory to the single-impurity Anderson model (AM), using the Keldysh instead of the Matsubara formalism with direct access to the self-energy and dynamical susceptibilities on the real-frequency axis. We present results from the functional renormalization group (fRG) at one-loop level and from solving the self-consistent parquet equations in the parquet approximation. In contrast to previous Keldysh fRG works, we employ a parametrization of the four-point vertex which captures its full dependence on three real-frequency arguments. We compare our results to benchmark data obtained with the numerical renormalization group and to second-order perturbation theory. We find that capturing the full frequency dependence of the four-point vertex significantly improves the fRG results compared to previous implementations, and that solving the parquet equations yields the best agreement with the NRG benchmark data, but is only feasible up to moderate interaction strengths. Our methodical advances pave the way for treating more complicated models in the future.

연구 동기 및 목표

• 고체전자계에서 허수주파수에서 실주파수로의 해석적 계속성 문제의 수치적 불안정성을 극복하기 위해.
• 마츠부라 형식에 의존하지 않고 직접 자기에너지와 동적 감수율을 계산할 수 있는 실주파수 양자장이론 프레임워크를 개발하기 위해.
• 비교적 강한 상호작용 영역에서도 완전한 세 주파수 의존성을 갖는 4점 꼬리의 2차 상관 함수를 정확하게 계산할 수 있도록 하기 위해.
• 단일 임플랜트 안드레슨 모형에서 Keldysh fRG 및 파레트 방법의 성능을 수치적으로 정확한 NRG 데이터와 비교하기 위해.
• 이러한 방법들을 더 복잡한 모형, 특히 실주파수 2차 꼬리의 동적 평균장이론으로 확장하기 위한 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 실주파수 상관 함수를 직접 접근하기 위해 마츠부라 형식 대신 켈디시 형식을 사용한다.
• 세 개의 독립적인 실주파수 변수에 의존하는 완전한 파arametrization을 갖는 4점 꼬리에 대해 일중 루프 기능적 보존군(fRG) 유도를 적용한다.
• 고정점 반복과 앤더슨 가속법, 부분 갱신 안정화를 사용하여 파레트 근사(PA)에서 자가일관성 파레트 방정식을 해결한다.
• fRG 유도 방정식을 위한 적응형 룬게-쿠타 적분과 오차 제어를 사용하며, 효율적인 단계 크기 제어를 위해 재파arametrization된 유도 매개변수를 사용한다.
• 자기에너지 및 4점 꼬리 함수의 기준으로 수치적으로 정확한 NRG 데이터를 사용하며, 특히 정적 감수율과 스펙트럼 함수에 대해 검증한다.
• 자기에너지에 대해 최대 401개의 주파수 격자, 4점 꼬리의 세 주파수 $K_3$ 성분에 대해 101개의 주파수 격자를 사용하며, 켈디시 및 마츠부라 형식 결과 간 비교를 통해 수렴성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전한 세 주파수 의존성을 갖는 4점 꼬리에 대해 Keldysh fRG 접근법이 이전에 단순화된 꼬리 파arametrization을 사용한 구현보다 뛰어난 성능을 보일 수 있는가?
• RQ2 fRG 및 파레트 방법을 사용하여 실주파수에서 자기에너지와 동적 감수율을 수치적으로 정확한 NRG 데이터와 비교해 볼 때 얼마나 정확하게 계산할 수 있는가?
• RQ3 실주파수 꼬리의 완전한 주파수 의존성을 갖는 경우 파레트 근사에서 파레트 방정식을 풀 수 있는 유효 범위는 어디인가?
• RQ4 4점 꼬리의 완전한 주파수 의존성을 반영함으로써 fRG 결과의 정확도가 단일 임플랜트 안드레슨 모형에서 얼마나 향상되는가?
• RQ5 현재의 계산 자원과 최적화 기법을 통해 3차원 주파수 의존성 꼬리의 저장 및 계산 비용을 관리할 수 있는가?

주요 결과

• 켈디시 fRG에서 4점 꼬리의 완전한 세 주파수 파arametrization은 이전의 fRG 구현에서 사용된 근사된 꼬리 의존성에 비해 정확도가 크게 향상된다.
• 파레트 근사에서 파레트 방정식을 푸는 것은 특히 약한에서 중간 강도의 결합 영역(u < 1)에서 NRG 기준 데이터와 가장 잘 일치한다.
• 파레트 솔버는 중간 강도 이하의 상호작용에서만 안정적으로 수렴하며, $u \text{ 약간 } \textless 1$ 일 때는 $N_{K_3} = 101$ 개의 주파수 점이 필요하고, 더 높은 $u$ 에서는 실패한다.
• 계산 비용은 $\mathcal{O}(N_{K_3}^3)$ 의 비율로 증가하며, $N_{K_3} = 101$ 이고 150회의 반복일 경우 32개 노드(1024개 스레드)에서 약 2일이 소요된다.
• 켈디시 및 마츠부라 형식의 정적 감수율 수렴이 0.1% 이내로 확인되어 수치적 프레임워크의 타당성이 검증된다.
• 적응형 단계 크기 제어와 재파arametrization된 유도 매개변수 $\Lambda(t)$ 를 사용함으로써 fRG 적분이 안정적이고 정확하게 유지되며, 상대 오차 허용 오차는 $10^{-6}$ 이다.