[논문 리뷰] Recent progresses in the theory of nonlinear nonlocal problems

Sunra Mosconi, Marco Squassina|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 30.

Differential Equations and Boundary Problems참고 문헌 48인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 분수형 $p$-라플라시안을 포함하는 비선형 비국소 문제 이론의 최근 발전을 검토하며, 약한 해의 존재성과 정칙성에 초점을 맞춘다. 변분 방법을 통해 다중성 결과를 확립하고, 절차적 기법과 팔라이-스메일 추정을 이용해 임계 성장 조건 하에서 비국소 브레지스-니레버그 유형 문제에 비자명한 해의 존재성을 증명한다.

ABSTRACT

We overview some recent existence and regularity results in the theory of nonlocal nonlinear problems driven by the fractional $p$-Laplacian.

연구 동기 및 목표

• 분수형 $p$-라플라시안에 의해 이끌리는 비선형 비국소 문제에 대한 존재성 및 정칙성 이론의 최근 발전을 조사한다.
• 분수형 $p$-라플라시안 방정식의 약한 해의 정칙성, 특히 내부 및 경계 행동을 분석한다.
• 특히 비국소 버전의 브레지스-니레버그 문제인 임계 비국소 문제에 대한 비자명한 해의 존재성을 조사한다.
• 에너지 추정과 아빈-탈렌티 함수의 잘라내기 기법을 통해 임계 비국소 방정식에 대해 팔라이-스메일 조건이 성립하는 조건을 확립한다.
• 비국소 비선형 연산자 맥락에서 변분적 및 비변분적 방법에 대한 종합적인 개요를 제공한다.

제안 방법

• 가리아르도 준노름과 에너지 공간 $W^{s,p}_0(\Omega)$ 를 통한 분수형 $p$-라플라시안의 약한 공식화를 이용한다.
• 모르스 이론과 제약 최소화를 포함한 변분 방법을 적용하여 다수의 약한 해 존재성을 증명한다.
• 에너지 노름과 컴acts성 회복을 위해 재스케일링된 아빈-탈렌티 함수에 대한 잘라내기 기법을 활용한다.
• 임계 성장 조건 하에서 에너지 함수의 임계점을 식별하기 위해 리킹 정리와 최소-최대 방법을 사용한다.
• 에너지 노름과 $W^{s,p}_0$-준노름, $L^{p^*}$-노름에 대한 잘라내기의 영향을 제어하여 특정 에너지 수준에서 팔라이-스메일 조건을 확립한다.
• 핵심 기술적 보조정리(보조정리 4.9)에 의존하며, 이는 에너지와 $L^{p^*}$-노름이 제어된 테스트 함수를 구성하여 임계 경우의 존재성 증명에 필수적이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수형 $p$-라플라시안 문제 $(-\Delta_p)^s u = f(x,u)$ in $\Omega$, $u=0$ on $\partial\Omega$ 는 어떤 조건에서 최소한 세 개의 비자명한 약한 해를 갖는가?
• RQ2 비선형성의 渐近적 $p$-선형성 조건을 만족하고 $\lambda \notin \sigma_{FR}(\Omega)$ 일 때, 문제는 최소한 두 개의 비영인 해(비음성 및 비양성)를 갖는가?
• RQ3 임계 성장 조건을 갖는 비국소 브레지스-니레버그 문제에 비자명한 해가 존재하기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ4 팔라이-스메일 조건이 실패함에도 불구하고, 임계 경우의 에너지 함수에 대해 컴acts성은 어떻게 회복할 수 있는가?
• RQ5 분수형 샤페브 불등식의 최소화자의 최적 감쇠 속도는 무엇이며, 이를 통해 Pohǒzaev 항등식을 통한 비존재 결과와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 가정 $\mathbf{H}_2$ 와 적절한 제어 조건 $\eqref{RC}$ 하에서 문제 $(-\Delta_p)^s u = f(x,u)$ in $\Omega$, $u=0$ on $\partial\Omega$ 는 최소한 세 개의 비영인 약한 해를 갖는다.
• 비선형성의 渐近적 $p$-선형성 조건을 만족하고 $\lambda \notin \sigma_{FR}(\Omega)$ 일 때, 문제는 최소한 하나의 비영인 약한 해를 갖는다.
• $\lambda \in \sigma_{FR}(\Omega)$ 이고 $\partial\Omega$ 가 $C^{1,1}$-연속일 경우, $\frac{N^2}{N+s} > p^2s$ 또는 $\frac{N^3 + p^3 s^3}{N(N+s)} > p^2 s$ 를 만족하면 비자명한 해가 존재한다.
• 비국소 브레지스-니레버그 문제의 경우, $\lambda \notin \sigma_{FR}$ 이고 $N > p^2 s$ 이거나, $\lambda \in \sigma_{FR}$ 이며 $N$, $p$, $s$ 에 대한 기하학적 및 성장 조건을 만족하면 비자명한 약한 해가 존재한다.
• 보조정리 4.9 는 $[u_{\varepsilon,\delta}]^p \leq \mathbb{S}^{N/(ps)} + C(\varepsilon/\delta)^{(N-ps)/(p-1)}$ 와 $\|u_{\varepsilon,\delta}\|_{p^*}^{p^*} \geq \mathbb{S}^{N/(ps)} - C(\varepsilon/\delta)^{N/(p-1)}$ 를 만족하는 비음성 함수 $u_{\varepsilon,\delta} \in W^{s,p}_0(B_\delta)$ 를 구성한다. 여기서 $C = C(N,p,s)$ 이다.
• 이러한 테스트 함수의 구성은 임계 에너지 수준에서 컴acts성의 회복을 가능하게 하며, 임계 비선형성 존재 조건 하에서 최소-최대 방법의 적용을 가능하게 한다.