[논문 리뷰] Recursive QAOA outperforms the original QAOA for the MAX-CUT problem on complete graphs

Eunok Bae, Soojoon Lee|arXiv (Cornell University)|2022. 11. 28.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 완전 그래프에서 MAX-CUT 문제에 대해 재귀적 QAOA(RQAOA)가 표준 QAOA를 능가함을 분석적으로 증명한다. RQAOA는 1단계에서 정확한 해(근사 비율 = 1)를 달성하는 반면, 표준 QAOA는 1단계에서 근사 비율이 1 − 1/(8n²)보다 엄밀히 작다. 이 결과는 NISQ 시대의 구조화된 그래프에서 QAOA의 내재적 한계를 극복하는 데서 RQAOA의 우수성을 입증한다.

ABSTRACT

Quantum approximate optimization algorithms are hybrid quantum-classical variational algorithms designed to approximately solve combinatorial optimization problems such as the MAX-CUT problem. In spite of its potential for near-term quantum applications, it has been known that quantum approximate optimization algorithms have limitations for certain instances to solve the MAX-CUT problem, at any constant level $p$. Recently, the recursive quantum approximate optimization algorithm, which is a non-local version of quantum approximate optimization algorithm, has been proposed to overcome these limitations. However, it has been shown by mostly numerical evidences that the recursive quantum approximate optimization algorithm outperforms the original quantum approximate optimization algorithm for specific instances. In this paper, we analytically prove that the recursive quantum approximate optimization algorithm is more competitive than the original one to solve the MAX-CUT problem for complete graphs with respect to the approximation ratio.

연구 동기 및 목표

• 완전 그래프에서 MAX-CUT 문제를 해결하기 위한 표준 QAOA와 재귀적 QAOA(RQAOA)의 성능을 분석하고 비교하는 것.
• 특정 그래프 유형에서 알려진 제약 사항에 기인한 표준 QAOA의 근사 비율에 대한 상한이 RQAOA로 극복될 수 있는지 여부를 규명하는 것.
• 완전 그래프에서 RQAOA가 표준 QAOA를 능가하는 것을 분석적으로 증명하는 것. 이는 최적 해가 직관적으로 알려진 그래프 유형이다.
• 1단계 RQAOA가 정확한 해(근사 비율 = 1)를 달성하는 반면, 1단계 QAOA는 원칙적으로도 이를 달성할 수 없다는 것을 입증하는 것.

제안 방법

• 논문은 2n개 정점이 있는 완전 그래프에서 양자 이징 해밀토니안을 사용하여 MAX-CUT 문제를 수식화한다.
• 변분 매개변수 β와 γ를 사용하여 1단계 QAOA의 비용 함수 기대값을 유도하고, 도달 가능한 최대 값을 계산한다.
• RQAOA 절차를 재귀적으로 분석하며, QAOA 출력 기반으로 반스핀 쌍을 고정하여 문제 크기를 줄이는 방식에 집중한다.
• 핵심 분석 단계는 1단계 QAOA의 최대 근사 비율이 임의의 n에 대해 1 − 1/(8n²)보다 엄밀히 작다는 것을 증명하는 것이다.
• 1단계 RQAOA가 하위 문제를 재귀적으로 해결하고 정확한 기저 상태를 복원함으로써 정확히 근사 비율 1을 달성함을 보여준다.
• 증명은 QAOA에서 비용 함수 기대값의 최대값을 구하고, 이를 고전적 최대 컷 값과 비교하는 데 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 재귀적 QAOA(RQAOA)는 완전 그래프에서 MAX-CUT 문제를 해결할 때 표준 QAOA를 능가할 수 있는가?
• RQ2 RQAOA는 완전 그래프에서 1단계에서 정확한 해(근사 비율 = 1)를 달성하는가? 반면 표준 QAOA가 실패하는가?
• RQ3 완전 그래프에서 1단계 QAOA의 근사 비율에 대한 분석적 상한은 무엇이며, RQAOA와 비교해 볼 때 어떻게 되는가?
• RQ4 완전 그래프의 높은 대칭성과 알려진 최적 해에도 불구하고 표준 QAOA가 왜 정확한 해를 달성하지 못하는가?
• RQ5 RQAOA의 재귀적 구조가 완전 그래프와 같은 특정 그래프 유형에서 해 품질을 유지하는 것을 분석적으로 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 1단계 RQAOA는 2n개 정점이 있는 완전 그래프에서 MAX-CUT 문제에 대해 정확한 최적 해를 달성하며, 이는 근사 비율이 정확히 1임을 의미한다.
• 1단계 QAOA는 임의의 n에 대해 근사 비율이 1 − 1/(8n²)보다 엄밀히 작다. 이는 정확한 해를 달성할 수 없음을 증명한다.
• 이 분석 결과는 표준 QAOA가 완전 그래프에서 내재된 근본적 한계를 극복하지 못함을 입증하며, 이는 최적 해가 고전적으로 알려져 있음에도 불구하고 성립한다.
• 성능 격차는 정량적으로 규명되었으며, QAOA의 근사 비율은 최소 1/(8n²) 이상으로 1에서 벗어나 있으며, 이는 큰 n에 대해서도 사라지지 않는 양이다.
• 이 결과는 RQAOA가 비틀린 그래프 유형에 대해 표준 QAOA를 수치적으로 뿐 아니라 엄밀하게도 능가함을 입증하는 첫 번째 분석적 증명이다.
• 연구는 심지어 높은 대칭성과 작은 둘레를 가진 그래프에서도 표준 QAOA가 일정 깊이에서 정확한 해를 달성하지 못하는 반면, RQAOA는 이를 성공적으로 달성함을 강조한다.