[논문 리뷰] Reduced-Order Nonlinear Observers via Contraction Analysis and Convex Optimization

Bowen Yi, Ruigang Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 11.

Control and Stability of Dynamical Systems참고 문헌 37인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 수축 분석과 볼록 최적화를 이용하여 전역 수렴성 확보의 감소 차수 비선형 관측기 설계를 위한 새로운 방법을 제안한다. 좌표 변환을 통해 시스템 동역학을 수축 형태로 변형함으로써, 체계적이고 계산 효율적인 관측기 설계를 가능하게 하는 검증 가능한 미분 부등식을 유도한다. 이는 기계적, 생화학적, 전기기계적 시스템을 포함한 다양한 비선형 시스템에 적용 가능하다.

ABSTRACT

In this paper, we propose a new approach to design globally convergent reduced-order observers for nonlinear control systems via contraction analysis and convex optimization. Despite the fact that contraction is a concept naturally suitable for state estimation, the existing solutions are either local or relatively conservative when applying to physical systems. To address this, we show that this problem can be translated into an off-line search for a coordinate transformation after which the dynamics is (transversely) contracting. The obtained sufficient condition consists of some easily verifiable differential inequalities, which, on one hand, identify a very general class of "detectable" nonlinear systems, and on the other hand, can be expressed as computationally efficient convex optimization, making the design procedure more systematic. Connections with some well-established approaches and concepts are also clarified in the paper. Finally, we illustrate the proposed method with several numerical and physical examples, including polynomial, mechanical, electromechanical and biochemical systems.

연구 동기 및 목표

• 기존 국소적 또는 보수적인 접근 방식의 한계를 극복하는 비선형 제어 시스템을 위한 체계적이고 전역 수렴성 보장 관측기 설계 방법을 개발하는 것.
• 횡방향 수축을 위한 충분조건를 계산 가능하고 효율적인 볼록 최적화 문제로 변환하는 것.
• 수축 기반 관측기 설계의 적용 범위를 다항식, 기계적, 생화학적 시스템을 포함한 광범위한 비선형 시스템 클래스로 확장하는 것.
• 온라인 비볼록 최적화를 피하는 구축 가능한 프레임워크를 제공하여 실시간 구현을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 이 방법은 원래 시스템을 출력 함수에 대해 횡방향으로 수축하는 형태로 변환하기 위해 좌표 변환을 적용한다.
• 양의 준정의 리만 메트릭 $ W(\chi) = \Psi(\chi)P(\chi)\Psi^\top(\chi) $ 를 사용하여 미분 리아푸노프 함수를 정의함으로써, 미분 상태의 지수 수렴을 보장한다.
• 횡방향 수축을 위한 충분조건는 행렬 부등식 $ \partial_f W + \left(\frac{\partial f}{\partial \chi}\right)^\top W + W \frac{\partial f}{\partial \chi} \prec 0 $ 로 표현되며, 이는 최적화 변수에 대해 볼록이다.
• 관측기 설계는 오프라인 볼록 최적화 문제로 설정되어 있어 효율적인 계산과 실시간 구현을 가능하게 한다.
• 상태 재구성은 매핑 $ \psi(\chi) = \int_0^1 \Psi(s\chi)^\top \chi \, ds $ 의 단사성을 활용하여 보장된다.
• 이 프레임워크는 기계적, 전기기계적, 생화학적 시스템을 포함한 여러 물리적 시스템에 대해 검증되었으며, 전역 수렴성과 강건성을 입증하였다.

Figure 1: Simulation results of the polynomial system ( 48 )

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수축 분석을 체계적으로 비선형 시스템의 감소 차수 전역 수렴 관측기 설계에 적용할 수 있는가?
• RQ2 횡방향 수축을 위한 충분조건를 볼록 최적화 문제로 표현할 수 있는가? 이를 통해 효율적인 계산이 가능한가?
• RQ3 제안된 방법이 고이득 관측기나 KKL 관측기와 같은 기존 프레임워크와 비교해 볼 때, 탐지 가능한 비선형 시스템의 범위는 얼마나 일반적인가?
• RQ4 좌표 변환이 전역 수렴성 달성과 관측기 설계 과정 단순화에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 KKL 관측기에서 요구되는 온라인 비볼록 최적화를 피할 수 있는가? 이를 통해 실시간 구현이 가능한가?

주요 결과

• 제안된 방법은 좌표 변환 하에 시스템의 횡방향 수축을 보장함으로써 관측기 오차 동역학의 전역 수렴성을 보장한다.
• 횡방향 수축을 위한 충분조건는 볼록 행렬 부등식으로 표현되어 있으며, 이를 통해 볼록 최적화를 통한 효율적인 오프라인 계산이 가능하다.
• 이 방법은 다항식, 기계적, 전기기계적, 생화학적 시스템을 포함한 광범위한 비선형 시스템 클래스에 적용 가능하며, 수치적 및 물리적 예제를 통해 입증되었다.
• 관측기 설계는 KKL 관측기와 달리 온라인 비볼록 최적화를 피하므로 실시간 구현에 적합하다.
• 수렴 속도는 미분 리아푸노프 함수 $ V(\chi, \delta\chi) = \delta\chi^\top W(\chi) \delta\chi $ 의 감쇠를 통해 정량화되며, 이는 지수적으로 0으로 수렴한다.
• 이 프레임워크는 수축 분석과 관측기 설계 간의 명확한 연결을 구축하며, 탐지 가능성과 증분 안정성과 같은 기존 개념과의 관계를 명확히 한다.

Figure 2: The unmeasured states and their estimates from the proposed observer ( 50 ) and the structure preserving observer in [ 45 ] , which is a local design, for the MagLev model ( 49 )