[논문 리뷰] Reductions of Dynamics on Second Iterated Bundles of Lie Groups

Oùgul Esen, Hasan Gümral|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 23.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 27인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 군의 이중 반복 탄성다발 위에서 해밀토니안 및 라그랑주 역학을 위한 체계적인 프레임워크를 제시한다. 이는 첫 번째 종류의 자명화를 사용하여 올림된 군 구조를 유지하며, $^{1}TT^*G$, $^{1}T^*TG$, $^{1}T^*T^*G$ 등의 공간에서 심플렉틱 및 파울리 조인트 축소를 통해 축소된 역학—특히 오일러-파이오카르 및 리-파울리 방정식—을 유도한다. 이를 통해 군 다발 위의 고차원 역학과 심플렉틱 구조를 통합적으로 다룰 수 있다.

ABSTRACT

We consider trivializations of second iterated bundles of a Lie group that preserve lifted group structures. With such a trivialization, we elaborate Hamiltonian dynamics on cotangent, Lagrangian dynamics on tangent bundles and, both Hamiltonian and Lagrangian dynamics on Tulczyjew's symplectic space which is tangent of cotangent bundle of Lie group. We present all possible Poisson, symplectic and Lagrangian reductions of spaces and corresponding dynamics on them. In particular, reduction of Lagrangian dynamics on second iterated tangent bundle includes reduction of dynamics on second order tangent bundle.

연구 동기 및 목표

• 반복 군 다발 위에서 해밀토니안 및 라그랑주 역학을 위한 일관된 프레임워크를 제시하며, 반올림된 군 구조와 반올림된 반직접곱을 유지하는 자명화를 사용한다.
• 심플렉틱 및 파울리 조인트 축소를 통해 군의 접선 및 코접선 다발 위에서 축소된 역학—특히 오일러-파이오카르 및 리-파울리 방정식—을 도출한다.
• 자명화된 구조를 통해 $T^2G$ 위에서의 고차원 역학, 특히 두 번째 차수의 옐러그랑주 방정식을 통합적으로 다룰 수 있도록 한다.
• 툴츠치에프의 심플렉틱 구조가 $^{1}TT^*G$ 에서 해밀토니안 및 라그랑주 역학을 동시에 가능하게 하고, 다양한 축소 경로를 제공함을 규명한다.
• 군 작용과 반올림된 구조를 활용하여 반복 다발 위의 고차원 심플렉틱 및 라그랑주 시스템에 대한 축소 기법을 일반화한다.

제안 방법

• 첫 번째 종류의 자명화를 사용하여 $TG$ 와 $T^*G$ 를 반직접곱 $G\circledS\mathfrak{g}$ 와 $G\circledS\mathfrak{g}^*$ 와 동치로 간주함으로써 군 및 리대수적 구조를 유지한다.
• 반복 다발인 $T(G\circledS\mathfrak{g})$, $T(G\circledS\mathfrak{g}^*)$, $T^*(G\circledS\mathfrak{g})$, $T^*(G\circledS\mathfrak{g}^*)$ 를 리대수 및 그 쌍대공간과의 반직접곱으로 자명화한다.
• 표준 심플렉틱 형식과 군 작용을 사용하여 $^{1}TTG$, $^{1}TT^*G$, $^{1}T^*TG$, $^{1}T^*T^*G$ 에서 자명화된 옐러그랑주 및 하미르톤 방정식을 유도한다.
• 군 작용을 통한 심플렉틱 및 파울리 조인트 축소를 통해 몫공간 위에서의 축소된 역학을 도출한다.
• 툴츠치에프의 심플렉틱 구조를 $^{1}TT^*G$ 에 적용하고, 두 개의 잠재적 1형식인 $\theta_1$ 과 $\theta_2$ 를 사용하여 하미르톤 역학을 정의하고 축소된 방정식을 도출한다.
• 임베딩 $T^2G \to TTG$ 를 사용하여 $G\circledS(\mathfrak{g}\times\mathfrak{g})$ 위에서 두 번째 차수의 옐러그랑주 방정식과 $2\mathfrak{g}$ 위에서 두 번째 차수의 오일러-파이오카르 방정식을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 군의 이중 반복 다발 위에서 반올림된 군 구조를 유지하는 자명화를 사용하여 해밀토니안 및 라그랑주 역학을 일관되게 정의할 수 있는가?
• RQ2 심플렉틱 및 파울리 조인트 축소를 통해 $^{1}TT^*G$, $^{1}T^*TG$, $^{1}T^*T^*G$ 에서 축소된 역학—특히 오일러-파이오카르 및 리-파울리 방정식—은 무엇인가?
• RQ3 툴츠치에프의 심플렉틱 구조가 $^{1}TT^*G$ 에서 하미르톤 및 라그랑주 역학을 동시에 가능하게 하고, 그 군 작용 대칭성으로부터 유도되는 다양한 축소는 무엇인가?
• RQ4 $T^2G$ 위의 두 번째 차수 역학과 $^{1}TTG$ 및 $^{1}TT^*G$ 위의 자명화된 역학 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 이 프레임워크는 군의 반복 다발 위에서 반올림된 심플렉틱 구조를 갖는 심플렉틱 다양체의 접선다발에 대한 심플렉틱 축소로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 자명화된 옐러그랑주 방정식이 $^{1}TTG \simeq (G\circledS\mathfrak{g})\circledS(\mathfrak{g}\circledS\mathfrak{g})$ 에서 $TTG$ 에의 임베딩을 통해 $T^2G$ 위에서 두 번째 차수의 역학을 유도한다.
• $^{1}TT^*G$ 에서 군 $G$ 작용에 의한 축소는 파울리 축소된 공간 $\mathfrak{g}\circledS(\mathfrak{g}^*\times\mathfrak{g}^*)$ 와 함께 심플렉틱 잎 $\mathcal{O}_\lambda \times \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}^*$ 를 갖는다.
• $^{1}T^*TG$ 에서 하미르톤 방정식은 $\mathfrak{g}\circledS(\mathfrak{g}^*\times\mathfrak{g}^*)$ 에서의 리-파울리 구조를 이끌어내며, $\mathfrak{g}^*\times\mathfrak{g}^*$ 에서의 곱 파울리 구조와는 다름을 보인다.
• $^{1}T^*T^*G$ 에서 군 $G\circledS\mathfrak{g}^*$ 에 의한 심플렉틱 축소는 $\mathfrak{g}^*\circledS(\mathfrak{g}^*\times\mathfrak{g})$ 에서의 리-파울리 구조를 유도하며, 심플렉틱 잎은 $\mathcal{O}_\lambda \times \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}^*$ 를 갖는다.
• 툴츠치에프의 심플렉틱 형식을 사용한 $^{1}TT^*G$ 위의 하미르톤 역학은 두 개의 잠재적 1형식인 $\theta_1$ 과 $\theta_2$ 를 허용하여 역학의 이중 형식을 가능하게 한다.
• $^{1}TT^*G$ 에서 군 $G$, $\mathfrak{g}_1^*$, $G\circledS\mathfrak{g}_1^*$ 에 의한 라그랑주 축소는 각각 $\mathfrak{g}_1^*\circledS(\mathfrak{g}_2\times\mathfrak{g}_3^*)$, $G\circledS(\mathfrak{g}_2\times\mathfrak{g}_3^*)$, $\mathfrak{g}_2\circledS\mathfrak{g}_3^*$ 에서의 축소된 방정식을 도출한다.