[논문 리뷰] Refined Tail Asymptotic Properties for the $M^X/G/1$ Retrial Queue

Bin Liu, Jie Min외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 08.

Advanced Queuing Theory Analysis참고 문헌 33인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 서비스 시간이 배치 크기보다 무거운 꼬리 조건이 필요 없도록, 정규적으로 변화하는 꼬리 조건 하에서 $M^X/G/1$ 재시도 대기열의 꼬리 점점 감소 성질을 정교화한다. 재시도 대기열과 표준 대기열 간의 꼬리 확률의 차이에 대한 정교한 점점 감소 특성은 서비스 시간이 배치 크기와 같거나 더 무거운 경우에도 등가성을 보여주며, 생성 함수 분석과 타우버 정리에 의해 명시적인 꼬리 감쇠 속도가 유도된다.

ABSTRACT

In the literature, retrial queues with batch arrivals and heavy service times have been studied and the so-called equivalence theorem has been established under the condition that the service time is heavier than the batch size. The equivalence theorem provides the distribution (or tail) equivalence between the total number of customers in the system for the retrial queue and the total number of customers in the corresponding standard (non-retrial) queue. In this paper, under the assumption of regularly varying tails, we eliminate this condition by allowing that the service time can be either heavier or lighter than the batch size. The main contribution made in this paper is an asymptotic characterization of the difference between two tail probabilities: the probability of the total number of customers in the system for the $M^X/G/1$ retrial queue and the probability of the total number of customers in the corresponding standard (non-retrial) queue. The equivalence theorem by allowing a heavier batch size is another contribution in this paper.

연구 동기 및 목표

• 서비스 시간이 배치 크기보다 더 무거운 경우가 아니면 $M^X/G/1$ 재시도 대기열과 표준 대기열 간의 꼬리 등가성에 관한 문헌의 격차를 해소하기 위해.
• 기존의 재시도 대기열 등가 정리에서 서비스 시간이 반드시 배치 크기보다 더 무거워야 한다는 제한 조건을 제거하기 위해.
• 재시도 대기열의 꼬리 확률과 그에 해당하는 비재시도 대기열의 꼬리 확률 간의 차이에 대한 정교한 점점 감소 특성 정의하기 위해.
• 정규적으로 변화하는 꼬리 조건 하에서 등가 정리 수립을 위해, 서비스 시간보다 배치 크기의 꼬리가 더 무거운 경우를 포함한 경우를 다루기 위해.
• 확률 생성 함수에 대한 분석 기법을 사용하여 $M^X/G/1$ 재시도 대기열의 정상 상태 대기열 길이 분포의 명시적 꼬리 감쇠 속도 유도하기 위해.

제안 방법

• 정상 대기열 길이 $L_{\nu}$의 생성 함수 $Ez^{L_{\nu}}$를 연구하기 위해 생성 함수 분석과 해석적 계속성을 활용한다.
• 생성 함수가 $z \uparrow 1$ 근처에서의 행동에서 꼬리 점점 감소 성질을 추출하기 위해 타우버 정리와 $z=1$에서의 $\Delta$-해석성을 적용한다.
• 스토캐스틱 분해을 활용하여 재시도 대기열 길이를 표준 대기열 길이와 독립적인 랜덤 변수의 합으로 표현함으로써 꼬리 비교를 가능하게 한다.
• 매개변수 $v$, $u$, $\Gamma(1-u)$를 포함한 급수 전개를 통해 $z=1$ 근처에서 $1 - X(z)$와 $\beta^{(e)}(\lambda - \lambda X(z))$의 점점 감소 전개를 유도한다.
• 생성 함수의 구조를 이용하여 서비스 및 배치 크기 분포의 정규 변화 성질에 기반해 꼬리 전개에서 지배적인 항, 특히 $j^{-u}$ 및 $j^{-u-1}$ 항을 식별한다.
• 레미마 8.2를 적용하여 생성 함수의 점점 감소 행동을 $P\{L_{\infty} = j\}$의 꼬리 확률 감쇠 속도로 변환한다. $j \to \infty$일 때.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 배치 크기의 꼬리가 서비스 시간의 꼬리보다 더 무겁거나 같을 경우, $M^X/G/1$ 재시도 대기열의 꼬리 점점 감소 행동이 해당 표준 $M^X/G/1$ 대기열의 행동과 일치하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 서비스 시간이 배치 크기보다 더 무거운 영역을 넘어서, 특히 정규적으로 변화하는 꼬리 조건 하에서 재시도 대기열의 등가 정리가 확장될 수 있는가?
• RQ3 배치 크기 분포의 꼬리가 서비스 시간보다 더 무거운 경우, 재시도 대기열과 표준 대기열 간의 꼬리 확률의 정밀한 점점 감소 차이는 무엇인가?
• RQ4 서비스 및 배치 크기 분포의 정규 변화 매개변수에 따라 $M^X/G/1$ 재시도 대기열의 정상 상태 대기열 길이 분포의 꼬리 감쇠 속도는 어떻게 달라지는가?
• RQ5 닫힌 형태의 해가 존재하지 않을 경우, 명시적인 꼬리 점점 감소 성질을 도출하기 위한 분석 기법은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 서비스 시간의 꼬리가 배치 크기의 꼬리보다 더 무거운 경우에도 $M^X/G/1$ 재시도 대기열의 꼬리 점점 감소 행동이 표준 $M^X/G/1$ 대기열과 일치함을 입증함으로써, 이전의 가정을 초월하여 등가 정리의 적용 범위를 확장한다.
• 대기열 길이 분포의 지배적인 꼬리 감쇠 속도는 서비스 시간 분포의 정규 변화 지수 $u$에 따라 $j^{-u}$로 나타나며, 명시적인 계수 $\frac{\rho}{1-\rho} \frac{v^u}{\chi_1} \Gamma(1-u)$를 가진다.
• 꼬리 확률 $P\{L_{\infty} = j\}$는 $j \to \infty$일 때 $\frac{\rho}{1-\rho} \frac{v^u}{\chi_1} \Gamma(1-u) j^{-u} + w_{10} j^{-u-1} + \sum_{(k_1,k_2) \in S_2} l_{k_1,k_2} j^{-k_1(a-1) - k_2(u-1) - 1} + \sum_{k \in S_3} l_k j^{-k(u-1) - 1} + o(j^{-u-1})$로 감쇠한다.
• 분포는 유도된 점점 감소 전개와 꼬리 행동에 레미마 8.1을 적용한 결과로 최종적으로 감소함을 확인한다.
• 정규적으로 변화하는 꼬리 조건 하에서 등가 정리가 성립함을 입증하였으며, 이는 배치 크기의 꼬리가 서비스 시간의 꼬리보다 더 무거운 경우에도 성립한다. 이는 이전까지 문헌에서 열려 있던 문제였다.
• 분석은 생성 함수 $Ez^{L_{\infty}}$가 $z=1$에서 $\Delta$-해석적임을 확인하였으며, 이는 타우버 정리를 사용하여 정밀한 꼬리 점점 감소 성질을 추출할 수 있음을 의미한다.