[논문 리뷰] Reflected BSDEs when the obstacle is not right-continuous and optimal stopping

Miryana Grigorova, Peter Imkeller외 3명|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 23.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 최적 정지 이론, Mertens 분해, 일반화된 Itô 공식을 활용하여 오bst클이 오른쪽 상우연속이지만 반드시 오른쪽 연속이 아닐 수 있는 반사 backward stochastic differential equations (RBSDEs)의 해가 존재하고 유일함을 증명한다. 또한 이러한 RBSDEs를 f-조건부 기대값에 의한 최적 정지 문제와 연결하여 가치 함수를 특성화하고, 추가적인 정규성 조건 하에서 최적 정지 시점의 존재성을 증명한다.

ABSTRACT

In the first part of the paper, we study reflected backward stochastic differential equations (RBSDEs) with lower obstacle which is assumed to be right upper-semicontinuous but not necessarily right-continuous. We prove existence and uniqueness of the solutions to such RBSDEs in appropriate Banach spaces. The result is established by using some tools from the general theory of processes such as Mertens decomposition of optional strong (but not necessarily right-continuous) supermartingales, some tools from optimal stopping theory, as well as an appropriate generalization of It{ô}'s formula due to Gal'chouk and Lenglart. In the second part of the paper, we provide some links between the RBSDE studied in the first part and an optimal stopping problem in which the risk of a financial position $ξ$ is assessed by an $f$-conditional expectation $\mathcal{E}^f(\cdot)$ (where $f$ is a Lipschitz driver). We characterize the "value function" of the problem in terms of the solution to our RBSDE. Under an additional assumption of left upper-semicontinuity on $ξ$, we show the existence of an optimal stopping time. We also provide a generalization of Mertens decomposition to the case of strong $\mathcal{E}^f$-supermartingales.

연구 동기 및 목표

• 장애물이 오른쪽 상우연속이지만 반드시 오른쪽 연속이 아닐 수 있는 경우로 반사 BSDE 이론을 확장하는 것.
• 이러한 완화된 연속성 조건 하에서 적절한 Banach 공간에서 해의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• RBSDE 해를 f-조건부 기대값에 의한 최적 정지 문제와 연결하는 것.
• 정지 시점에 沿해 왼쪽 상우연속성 조건을 추가로 만족할 경우 최적 정지 시점의 존재성을 증명하는 것.
• 강한 E^f-초마팅게일에 대해 Mertens 분해를 일반화하고 RBSDE에 대한 비교 원리 수립

제안 방법

• 동적 위험 측정에서 본질적 상한의 특성화를 포함한 최적 정지 이론의 도구 활용.
• 비오른쪽 연속 과정을 다루기 위해 강한 선택적 초마팅게일의 Mertens 분해 적용.
• 강한 선택적 순환세미마팅게일에 대해 Gal’chouk과 Lenglart가 제안한 일반화된 Itô 공식 활용.
• 특히 선택적 분해와 예측가능 보정자에 초점을 맞춘 확률과정의 일반 이론 적용.
• f-조건부 기대값과 E^f-초마팅게일 이론을 활용해 동적 위험 측정 모델링.
• 벌림 방법을 통한 해 구축 및 적절한 Banach 공간에서 수렴성 증명

실험 결과

연구 질문

• RQ1 장애물이 오른쪽 연속이 아니지만 오른쪽 상우연속일 경우 RBSDE를 해결할 수 있는가?
• RQ2 이러한 RBSDE의 해는 f-조건부 기대값에 의한 최적 정지 문제와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 f-기대값 하에서 위험 최소화 문제에 대해 최적 정지 시점이 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 Mertens 분해를 강한 E^f-초마팅게일에 대해 일반화할 수 있는가?
• RQ5 장애물의 오른쪽 연속성 부재 시, 해가 장애물 위에 유지되는 데 있어 비감소 과정의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 장애물이 오른쪽 상우연속이지만 오른쪽 연속이 아닐 수 있는 경우에도 적절한 Banach 공간에서 RBSDE는 유일한 해를 가진다.
• 최적 정지 문제의 가치 함수는 드라이버 f와 장애물 ξ를 갖는 RBSDE의 유일한 해의 첫 번째 성분으로 특성화된다.
• 과정 ξ가 정지 시점에 따라 왼쪽 상우연속일 경우 최적 정지 시점이 존재한다.
• 왼쪽 상우연속성 가정 없이 일반적인 경우에도 ε-최적 정지 시점이 존재한다.
• 강한 E^f-초마팅게일에 대해 Mertens 분해의 일반화가 확립되었으며, 고전적 결과를 비선형 기대값으로 확장하였다.
• 연구된 RBSDE에 대해 비교 원리가 증명되었으며, 적절한 조건 하에서 순서 유지 보장된다.