[논문 리뷰] Registration-based model reduction in complex two-dimensional geometries

Tommaso Taddei, Lei Zhang|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 25.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 32인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비정상적인 기하구조, 예를 들어 동심 원환도 및 일반적인 2차원 형상과 같은 복잡한 두 차원 파arametric PDE에 대해 등록 기반 모델 순서 감소 프레임워크를 제안한다. 스펙트럼 요소 근사와 원통좌표 변환을 통한 기하구조 인식 맵핑을 도입함으로써, 이 방법은 해의 다양체를 선형 압축에 적합한 형태로 변환하여 급격한 기울기나 복잡한 경계를 가진 문제에서 감소된 순서 모델의 정확도를 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

We present a general -- i.e., independent of the underlying equation -- registration procedure for parameterized model order reduction. Given the spatial domain $Ω\subset \mathbb{R}^2$ and the manifold $\mathcal{M}= \{ u_μ : μ\in \mathcal{P} \}$ associated with the parameter domain $\mathcal{P} \subset \mathbb{R}^P$ and the parametric field $μ\mapsto u_μ \in L^2(Ω)$, our approach takes as input a set of snapshots $\{ u^k \}_{k=1}^{n_{ m train}} \subset \mathcal{M}$ and returns a parameter-dependent bijective mapping $Φ: Ω imes \mathcal{P} o \mathbb{R}^2$: the mapping is designed to make the mapped manifold $\{ u_μ \circ Φ_μ: \, μ\in \mathcal{P} \}$ more amenable for linear compression methods. In this work, we extend and further analyze the registration approach proposed in [Taddei, SISC, 2020]. The contributions of the present work are twofold. First, we extend the approach to deal with annular domains by introducing a suitable transformation of the coordinate system. Second, we discuss the extension to general two-dimensional geometries: towards this end, we introduce a spectral element approximation, which relies on a partition $\{ Ω_{q} \}_{q=1} ^{N_{ m dd}}$ of the domain $Ω$ such that $Ω_1,\ldots,Ω_{N_{ m dd}}$ are isomorphic to the unit square. We further show that our spectral element approximation can cope with parameterized geometries. We present rigorous mathematical analysis to justify our proposal; furthermore, we present numerical results for a heat-transfer problem in an annular domain, a potential flow past a rotating symmetric airfoil, and an inviscid transonic compressible flow past a non-symmetric airfoil, to demonstrate the effectiveness of our method.

연구 동기 및 목표

• 기존의 등록 기반 모델 순서 감소 방법이 단위 정사각형과 델타모르픽인 영역에 국한되어 있다는 한계를 해결한다.
• 원통좌표 변환과 스펙트럼 근사를 통해 등록 프레임워크를 동심 원환도에 적용한다.
• 일반적인 두 차원 기하구조에 대해 등록을 일반화하기 위해 분할된 스펙트럼 요소 접근법을 개발한다.
• 복잡한 영역에서 코모고로프 N-폭이 느리게 감쇠하는 해의 다량체에 대해 효과적인 선형 압축을 가능하게 한다.
• 열전도, 잠재류동, 충격 형성과 함께 초음속 유동을 포함한 도전적인 파라미터 PDE에 대해 방법의 효과성을 입증한다.

제안 방법

• 해의 다량체를 더 잘 선형 근사할 수 있도록 도와주는 파라미터 기반의 전단사 맵핑 $\Phi: \Omega \times \mathcal{P} \to \mathbb{R}^2$ 을 도입한다.
• 동심 원환도의 경우, 원환도를 직사각형 기준 영역 $ (0,1) \times (-1/2, 1/2) $ 로 매핑하기 위해 원통좌표 변환 $\Psi: \widehat{\Omega}_{\text{pol}} \to \Omega$ 를 적용한다.
• 맵핑을 $ \Phi = \Psi \circ \Phi_{\text{pol}} \circ \Lambda $ 로 구성하며, 여기서 $ \Phi_{\text{pol}} = \text{id} + W_M \mathbf{a} $ 이고, $ W_M $ 는 기준 영역에서 정의된 선형 연산자이다.
• 각 $ \Omega_q $ 가 단위 정사각형과 델타모르픽이 되는 분해 $ \{\Omega_q\}_{q=1}^{N_{\text{dd}}} $ 를 기반으로 한 스펙트럼 요소 근사를 사용하여 일반적인 2차원 기하구조를 처리한다.
• 매핑된 해 $ u_\mu \circ \Phi_\mu $ 에 대해 적절한 직교 분해(POD)를 적용하여 저차원 근사 공간을 구성한다.
• RBF 보간을 활용하여 새로운 파라미터 값에 대해 맵핑 계수 $ \mathbf{a}^\mu $ 와 해 계수 $ \boldsymbol{\alpha}^\mu $ 를 예측한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 등록 기반 모델 순서 감소 기법을 단위 정사각형과 델타모르픽이 아닌 동심 원환도에까지 확장할 수 있는가?
• RQ2 스펙트럼 요소 방법을 어떻게 활용하여 부드러운 경계를 가진 일반적인 두 차원 기하구조로 등록 기반 기법을 일반화할 수 있는가?
• RQ3 제안된 등록 프레임워크가 급격한 기울기나 충격을 포함한 파라미터 PDE의 감소된 순서 모델의 근사 품질을 어느 정도 향상시키는가?
• RQ4 초음속 오일러 유동과 같은 고정밀도 비선형 PDE에 적용했을 때, 이 방법이 정확도와 효율성을 유지할 수 있는가?
• RQ5 기하구조 변환과 영역 분할이 감소된 순서 모델의 수렴성과 안정성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 기준 영역에서의 원통좌표 변환과 스펙트럼 근사를 통해 등록 기반 모델 순서 감소를 동심 원환도에 성공적으로 확장한다.
• 비대칭 공기역학적 날개를 둘러싼 초음속 유동의 경우, 특히 충격 영역 근처에서 미등록 대비 등록된 ROM이 훨씬 낮은 상대적 $ L^2 $ 예측 오차를 기록한다.
• 초음속 유동 예제에서, $ N = 20 $ 모드일 때 등록된 방법의 평균 상대적 $ L^2 $ 투영 오차는 $ 10^{-3} $ 이하로 떨어졌다.
• 모든 테스트 파라미터에 대해 등록된 ROM의 상대 예측 오차는 $ 10^{-3} $ 이하를 유지하여, 샘플 외의 성능이 뛰어나다는 것을 보여주었다.
• 표준 POD가 코모고로프 N-폭이 느리게 감쇠하는 복잡한 기하구조에서 실패하는 상황에서도, 이 방법은 해의 다량체에 대해 효과적인 선형 압축을 가능하게 한다.
• 수치 결과는 맵핑 $ \Phi_\mu $ 가 충격, 경계층 등의 해 특징을 효과적으로 정렬하여 선형 근사에 적합하게 한다는 것을 확인한다.