[논문 리뷰] Regular patterns, substitudes, Feynman categories and operads

Michael Batanin, Joachim Kock외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 29.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 27인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 게츠러의 정규 패턴(2-범주),데이와 스트리트의 서브스티튜드(2-범주),카우프만과 워드의 파인먼 범주, 그리고 색이 있는 오ペ라드 사이의 비등가를 수립하며, 이들의 대수의 범주가 서로 동치임을 보여준다. 파워의 조화성 정리와 구이타르 정확성(Guitart exactness)을 사용하여, 게츠러의 유전적 공리와 카우프만–워드의 유전적 공리를 자유 대칭 모나드 2-모나드에 대한 조건의 일관성으로 통합한다.

ABSTRACT

We show that the regular patterns of Getzler (2009) form a 2-category biequivalent to the 2-category of substitudes of Day and Street (2003), and that the Feynman categories of Kaufmann and Ward (2013) form a 2-category biequivalent to the 2-category of coloured operads (with invertible 2-cells). These biequivalences induce equivalences between the corresponding categories of algebras. There are three main ingredients in establishing these biequivalences. The first is a strictification theorem (exploiting Power's General Coherence Result) which allows to reduce to the case where the structure maps are identity-on-objects functors and strict monoidal. Second, we subsume the Getzler and Kaufmann--Ward hereditary axioms into the notion of Guitart exactness, a general condition ensuring compatibility between certain left Kan extensions and a given monad, in this case the free-symmetric-monoidal-category monad. Finally we set up a biadjunction between substitudes and what we call pinned symmetric monoidal categories, from which the results follow as a consequence of the fact that the hereditary map is precisely the counit of this biadjunction.

연구 동기 및 목표

• 정규 패턴의 2-범주와 서브스티튜드의 2-범주 사이의 비등가를 수립하며, 이들의 대수의 범주가 동치임을 보이는 것.
• 파인먼 범주의 2-범주가 색이 있는 오페라드의 2-범주와 2-세포가 가역적인 경우에 대해 비등가임을 증명하는 것.
• 게츠러의 정규 패턴과 카우프만–워드의 파인먼 범주에서의 유전적 공리를, 자유 대칭 모나드 2-모나드에 대한 구이타르 정확성의 일반적 개념 아래 통합하는 것.
• 오페라드에서의 가역적인 단항 연산의 군환(groupoid)이 파인먼 범주에서의 색 군환과 정확히 일치함을 보이며, 더 깊은 구조적 동치를 드러내는 것.
• 2-모나드 이론과 파워의 조화성 결과를 활용하여 오페라드 이론에서 켄 확장 구성의 범주론적 틀을 제공하는 것.

제안 방법

• 대칭 모나드 함자를 강체화하기 위해 파워의 일반 조화성 결과를 적용하여, 항등 함수 위에 있는 대상으로의 함수와 강체 모나드 구조로 축소하는 것.
• Cat에서의 가브리엘 분해 체계를 사용하여 함수를 '대상에 대해 전단사'와 '전부 충실'으로 분해하고, 강체화를 위해 부가적 확장의 당김을 활용하는 것.
• 왼쪽 켄 확장과 자유 대칭 모나드 2-모나드 사이의 호환성을 보장하는 2-범주적 조건으로서의 구이타르 정확성의 개념을 도입하는 것.
• 서브스티튜드와 고정된 대칭 모나드 2-범주 사이의 이중수반(biadjunction)을 구성하며, 이중수반의 쌍대단위(counit)는 유전적 조건을 암시하는 것.
• 이중수반의 쌍대단위가 게츠러의 프레임워크와 카우프만–워드의 프레임워크 양쪽 모두에서 정확히 유전적 사상에 해당함을 활용하는 것.
• 강체화 및 정확성 조건이 대칭 모나드 함수를 따라 왼쪽 켄 확장을 통해 필요한 오페라드적 구조를 유지함을 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 패턴(게츠러)과 서브스티튜드(데이와 스트리트)는 2-범주 수준에서 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 파인먼 범주(카우프만과 워드)와 색이 있는 오페라드 사이의 범주론적 관계는 무엇인가?
• RQ3 게츠러의 정규 패턴과 카우프만–워드의 파인먼 범주에서의 유전적 공리는 한 가지 추상적 조건 아래 통합될 수 있는가?
• RQ4 대칭 모나드 함수를 따라 왼쪽 켄 확장이 오페라드적 구조를 얼마나 잘 유지하는가? 어떤 조건이 이를 보장하는가?
• RQ5 오페라드에서의 가역적인 단항 연산의 군환은 파인먼 범주의 색 군환과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 정규 패턴의 2-범주는 서브스티튜드의 2-범주와 비등가이며, 이에 대응하는 대수의 범주는 동치이다.
• 파인먼 범주의 2-범주는 2-세포가 가역적인 색이 있는 오페라드의 2-범주와 비등가이며, 이는 구조적 동치를 수립한다.
• 게츠러의 프레임워크와 카우프만–워드의 프레임워크에서의 유전적 공리는 모두 자유 대칭 모나드 2-모나드에 대한 구이타르 정확성의 사례이다.
• 색이 있는 오페라드에서의 가역적인 단항 연산 군환은 관련된 파인먼 범주의 색 군환과 정확히 일치하며, 숨겨진 대칭성을 드러낸다.
• 파워의 정리에 의한 강체화 결과는 모든 대칭 모나드 함수들을 항등 함수 위에 있는 대상으로의 함수로 대체할 수 있게 하여, 켄 확장 분석을 단순화한다.
• 서브스티튜드와 고정된 대칭 모나드 2-범주 사이의 이중수반은 비등가를 유도하며, 이중수반의 쌍대단위는 양쪽 모두에서 유전적 조건을 암시한다.