[논문 리뷰] Regular propagators of bilinear quantum systems

Thomas Chambrion, Nabile Boussaïd외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 30.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 42인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 $A$와 $B$가 수축 준군의 반대칭 생성자인 이차형 양자 제어 시스템 $x' = (A + u(t)B)x$의 해에 대한 정칙성과 에너지 추정을 수립한다. 제어 공간을 라돈 측도 공간으로 확장하고 교환자 조건을 도입함으로써, Ball-Marsden-Slemrod 비제어 가능성 결과를 일반화하는 사전 추정을 도출하며, 도달 가능한 집합에 대한 날카운 상한을 제공하고, 이차 슈뢰딩거 방정식과 같은 시스템에 대한 고차 정칙성 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The present analysis deals with the regularity of solutions of bilinear control systems of the type $x'=(A+u(t)B)x$where the state $x$ belongs to some complex infinite dimensional Hilbert space, the (possibly unbounded) linear operators $A$ and $B$ are skew-adjoint and the control $u$ is a real valued function. Such systems arise, for instance, in quantum control with the bilinear Schrödinger equation. For the sake of the regularity analysis, we consider a more general framework where $A$ and $B$ are generators of contraction semi-groups.Under some hypotheses on the commutator of the operators $A$ and $B$, it is possible to extend the definition of solution for controls in the set of Radon measures to obtain precise a priori energy estimates on the solutions, leading to a natural extension of the celebrated noncontrollability result of Ball, Marsden, and Slemrod in 1982. Complementary material to this analysis can be found in [hal-01537743v1]

연구 동기 및 목표

• 무한차원 힐버트 공간에서 이차형 제어 시스템 $x' = (A + u(t)B)x$의 해의 정칙성을 분석하는 것.
• 조각별 상수 제어에서 라돈 측도 공간으로의 해 개념을 확장하여, 전파자에 대한 잘 정의됨과 연속성을 보장하는 것.
• 도달 가능한 집합을 제약하는 사전 에너지 추정을 도출함으로써 제어 가능성에 대한 장애를 규명하는 것.
• 1982년 Ball-Marsden-Slemrod 비제어 가능성 결과를 비유계 생성자와 낙관적 제어를 갖는 시스템으로 일반화하는 것.
• 스펙트럼 및 보간 기법을 사용하여 고차 슈뢰딩거 공간에서의 근사 제어 가능성에 대한 충분조건을 제공하는 것.

제안 방법

• A와 B를 수축 준군의 반대칭 생성자로 두어 힐버트 공간 프레임워크 내에서 시스템을 수식화하는 것.
• 라돈 측도 공간의 제어에 대해 다이슨 급수 전개를 통해 일반화된 전파자를 도입하는 것.
• 미약한 결합 조건 하에서 미약한 해의 고차 노름 추정을 도출하기 위해 A와 B 사이의 교환자 조건을 적용하는 것.
• 보간 이론과 연산자의 분수 승수를 사용하여 $D(|A|^{s})$ 공간에서의 정칙성 추정을 수행하는 것.
• 해석적 섭동 이론(카토의 프레임워크)을 적용하여 스펙트럼 안정성 분석과 제어 설계에서 공진을 피하는 것.
• BV 및 라돈 공간의 제어에 대해 전파자 사상 $u \mapsto \Upsilon^u_T \psi_0$ 의 연속성을 확립하여, 도달 가능한 집합에 대한 컴팩트니스 추론을 가능하게 하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 이차형 양자 시스템의 해가 라돈 측도 공간의 제어로까지 연장될 수 있는가?
• RQ2 A와 B 사이의 교환자 조건이 해의 정칙성과 에너지 상한에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 기존의 Ball-Marsden-Slemrod 비제어 가능성 결과는 비유계 생성자와 낙관적 제어를 갖는 시스템으로 확장될 수 있는가?
• RQ4 제어가 유계 변동 또는 측도 값일 경우 도달 가능한 집합의 최적 정칙성은 무엇인가?
• RQ5 스펙트럼 및 보간 기법을 어떻게 활용하여 고차 슈뢰딩거 공간에서의 근사 제어 가능성을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• A와 B에 대한 교환자 조건과 정칙성 가정 하에서, 해 사상 $u \mapsto \Upsilon^u_T \psi_0$ 는 라돈 측도 공간의 제어로까지 연속적으로 확장 가능하다.
• 미약한 결합 조건 하에서 해에 대한 사전 에너지 추정이 유도되며, 이는 도달 가능한 집합에 대한 균일한 상한을 가능하게 한다.
• 제어가 BV의 순차적으로 컴팩트인 부분집합에 속할 경우, 연속성과 컴팩트니스 추론에 의해 임의의 초기 상태 $\psi_0$ 에서의 도달 가능한 집합은 $\mathcal{H}$ 내에서 전컴팩트이다.
• 에너지 추정을 통해 고전적 Ball-Marsden-Slemrod 비제어 가능성 결과는 비유계 반대칭 생성자와 낙관적 제어를 갖는 시스템으로 일반화된다.
• $k$-미약 결합 시스템의 경우, 행렬 원소에 대한 비공진 및 유한 다중도 조건 하에서, 임의의 $\eta > 0$ 에 대해 $D(|A|^{k/2 + 1 - \eta})$ 에서 근사 제어 가능성이 성립한다.
• 해석적 섭동 이론을 통해 $A + zB$ 의 고유값과 고유벡터가 실수축 근처에서 해석적임을 보이며, 제어 섭동에 대한 강건성 분석이 가능해진다.