[논문 리뷰] Regularity and Green's relations for the semigroup of partial contractions of a finite chain

Bulama Ali, Abdullahi Umar외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 06.

semigroups and automata theory참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한 체인 위의 부분 수축의 반군 $\mathcal{CP}_n$에서 정규성에 대한 필수 및 필요조건을 확립하고, 이 반군 위에서 다섯 가지 그린 관계($\mathcal{L}, \mathcal{R}, \mathcal{D}, \mathcal{H}, \mathcal{J}$)를 완전히 특성화한다. 주요 기여는 핵 분할과 이미지 집합을 이용한 그린 관계의 완전한 대수적 기술이며, 이를 위해 이동, 반사 및 정밀 분할의 허용 가능한 횡단선을 포함하는 명시적 조건을 제시한다.

ABSTRACT

Let $[n]=\{1,2,\ldots,n\}$ be a finite chain and let $\mathcal{P}_{n}$ be the semigroup of partial transformations on $[n]$. Let $\mathcal{CP}_{n}=\{α\in \mathcal{P}_{n}: (for~all ~x,y\in Dom~α)~|xα-yα|\leq|x-y|\}$, then $\mathcal{CP}_{n}$ is a subsemigroup of $\mathcal{P}_{n}$. In this paper, we give a necessary and sufficient condition for an element in $\mathcal{P}_{n}$ to be regular and characterize all the Green's equivalences on the semigroup $\mathcal{CP}_{n}$.

연구 동기 및 목표

• 반군 $\mathcal{CP}_n$의 원소가 정규일 조건을 필요 및 충분 조건으로 규명하는 것.
• $\mathcal{CP}_n$ 반군 위에서 다섯 가지 그린 관계($\mathcal{L}, \mathcal{R}, \mathcal{D}, \mathcal{H}, \mathcal{J}$)를 완전히 특성화하는 것.
• $\mathcal{OCP}_n$과 같은 $\mathcal{CP}_n$의 부분반군에 대한 그린 관계 결과를 일반화하고 통합하여, 이를 특수한 경우로 유도하는 것.
• 부분 수축 반군에서 정규성과 그린 관계를 연구하기 위한 기초 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• $\mathcal{CP}_n$을 $[n] = \{1,2,\ldots,n\}$ 위의 부분변환의 부분반군으로 정의하며, 모든 $x,y \in \text{Dom}(\alpha)$에 대해 $|x\alpha - y\alpha| \leq |x - y|$ 를 만족시킨다.
• 원소들이 같은 이미지를 갖는 동치류로 도메인을 분할하는 핵 분할 $\textbf{Ker}(\alpha)$를 사용한다.
• 각 핵 클래스에서 한 원소씩을 선택하는 허용 가능한 횡단선—상대적으로 볼록하고 순서 또는 반사 구조를 유지하는 것—을 도입한다.
• 이동 또는 반사에 의해 횡단선 간의 관계를 이용하여 핵 구조의 정밀 분할과 이미지 집합 간의 동형사상으로 그린 관계를 수립한다.
• $\alpha \,\mathcal{L}\, \beta$ 라는 조건이 성립하는 것은 $\text{Im}(\alpha) = \text{Im}(\beta)$ 이고, $\textbf{Ker}(\alpha)$와 $\textbf{Ker}(\beta)$의 정밀 분할 간에 수축이 존재할 때이다.
• $\alpha \,\mathcal{R}\, \beta$ 라는 조건이 성립하는 것은 $\text{Ker}(\alpha) = \text{Ker}(\beta)$ 이고, 이미지 원소 $x_i$와 $y_i$ 또는 $y_{p-i+1}$ 사이에 이동 또는 반사가 존재할 때이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반군 $\mathcal{CP}_n$의 원소가 정규일 조건은 무엇인가?
• RQ2 $\mathcal{CP}_n$에서 그린 관계 $\mathcal{L}, \mathcal{R}, \mathcal{D}, \mathcal{H}, \mathcal{J}$는 어떻게 구성되어 있는가?
• RQ3 $\mathcal{OCP}_n$(순서를 보존하는 부분 수축)의 그린 관계는 $\mathcal{CP}_n$의 그것과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 $\mathcal{OCP}_n$에 대한 결과는 일반적인 $\mathcal{CP}_n$의 특성화에서 특수한 경우로 유도될 수 있는가?
• RQ5 허용 가능한 횡단선과 정밀 분할은 $\mathcal{CP}_n$에서 그린 관계를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $\alpha \in \mathcal{CP}_n$가 정규일 조건은 그 이미지 집합 $\text{Im}(\alpha)$가 핵 분할 $\textbf{Ker}(\alpha)$의 횡단선이면서 상대적으로 볼록일 때이다.
• $\alpha \,\mathcal{L}\, \beta$ 라는 조건이 성립하는 것은 $\text{Im}(\alpha) = \text{Im}(\beta)$ 이고, $\textbf{Ker}(\alpha)$와 $\textbf{Ker}(\beta)$의 정밀 분할 간에 수축이 존재하며, 해당 이미지 원소들이 이동 또는 반사에 의해 연결될 때이다.
• $\alpha \,\mathcal{R}\, \beta$ 라는 조건이 성립하는 것은 $\text{Ker}(\alpha) = \text{Ker}(\beta)$ 이고, 모든 블록에 걸쳐 일관된 이동 또는 반사에 의해 이미지 원소들이 연결될 때이다.
• $\mathcal{D}$-관계는 정밀 핵 분할 간의 수축과 이미지 집합 간의 이동 또는 반사의 존재에 의해 특성화된다.
• $\mathcal{OCP}_n$에 대한 결과(조우와 양 [18] 참조)는 순서를 보존하는 원소로 제한할 경우 일반 특성화의 특수한 경우로 완전히 복원된다.
• $\mathcal{OCP}_n$에서 $\mathcal{D}$-클래스의 특성화는 $\alpha \,\mathcal{D}\, \beta$ 이다. 이는 어떤 정수 $e$에 대해 $x_i = y_i + e$ 를 만족할 때 성립하며, 이는 이미지 원소들 사이의 균일한 이동을 의미한다.