[논문 리뷰] Riemannian geometry of Kahler-Einstein currents III: compactness of Kahler-Einstein manifolds of negative scalar curvature

Jian Song, Jacob Sturm외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 08.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 59인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 일관된 부피 유계 조건 하에서 음의 리치 곡률을 가진 n차원 카플러-아인슈타인 다양체의 컴팩턴스를 확립한다. 이를 통해 임의의 수열이 점지향 곰보-하우스도르프 위상에서 유한 개의 완전한 카플러-아인슈타인 메트릭 공간의 합집합으로 수렴함을 증명한다. 또한 Weil-Petersson 메트릭이 KSBA 컴actification으로 유일하게 연장되며, 국소적으로 유계 잠재함수를 가진 카플러 커펄트로 확장됨을 보이며, 이는 계수 모듈리 공간의 유한 부피를 의미한다.

ABSTRACT

Let $\mathcal{K}(n, V)$ be the set of $n$-dimensional compact Kahler-Einstein manifolds $(X, g)$ satisfying $Ric(g)= - g$ with volume bounded above by $V$. We prove that after passing to a subsequence, any sequence $\{ (X_j, g_j)\}_{j=1}^\infty$ in $\mathcal{K}(n, V)$ converges, in the pointed Gromov-Hausdorff topology, to a finite union of complete Kahler-Einstein metric spaces without loss of volume. The convergence is smooth off a closed singular set of Hausdorff dimension no greater than $2n-4$, and the limiting metric space is biholomorphic to an $n$-dimensional semi-log canonical model with its non log terminal locus of complex dimension no greater than $n-1$ removed. We also show that the Weil-Petersson metric extends uniquely to a Kahler current with bounded local potentials on the KSBA compactification of the moduli space of canonically polarized manifolds. In particular, the coarse KSBA moduli space has finite volume with respect to the Weil-Petersson metric. Our results are a high dimensional generalization of the well known compactness results for hyperbolic metrics on compact Riemann surfaces of fixed genus greater than one.

연구 동기 및 목표

• 일관된 부피 유계 조건 하에서 음의 스칼라 곡률을 가진 카플러-아인슈타인 다양체의 컴팩턴스를 확립하기.
• 그러한 수열의 곰보-하우스도르프 극한의 구조를 기술하기, 특히 특이점과 복소기하학적 구조를 포함하여.
• 기본적으로 극화된 다양체의 모듈리 공간의 KSBA 컴actification으로 Weil-Petersson 메트릭을 확장하기.
• 확장된 Weil-Petersson 메트릭이 국소적으로 유계 잠재함수를 가지며, 계수 모듈리 공간이 유한 부피를 가짐을 증명하기.

제안 방법

• 비 collapsing 영역에서 카플러-아인슈타인 메트릭의 붕괴를 제어하기 위해 부분 $C^0$-추정과 해석적 추정을 사용한다.
• 기하학적 추정과 수렴 기법을 적용하여 극한 공간의 구조와 특이점 집합을 분석한다.
• 안정적인 캐논컬 모델과 준안정 환원을 활용하여 메트릭 극한과 대수기하학을 연결한다.
• 곡률와 non-collapsing을 제어하기 위해 쪼개기 기법과 정밀한 $\epsilon$-정규성 정리들을 활용한다.
• 유한 커버에서의 메트릭을 전이하여 Weil-Petersson 커펄트를 구성하고, 특이점을 해결하여 전역적으로 확장한다.
• Q-포노 다양체와 준대수적 특이점 모델을 포함한 대수기하 도구를 활용하여 극한 메트릭 공간의 특성을 기술한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Ric(g) = -g 이고 일관된 부피 유계 조건을 만족하는 n차원 카플러-아인슈타인 다양체 수열의 곰보-하우스도르프 극한의 구조는 무엇인가?
• RQ2 극한 메트릭 공간의 특이점은 기저가 되는 다양체의 대수기하학적 성질과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 기본적으로 극화된 다양체의 모듈리 공간에서 Weil-Petersson 메트릭은 KSBA 컴actification으로 확장될 수 있는가?
• RQ4 확장된 Weil-Petersson 메트릭은 컴actified 모듈리 공간에서 국소적으로 유계 잠재함수를 가지는가?
• RQ5 Weil-Petersson 메트릭에 관하여 계수 KSBA 모듈리 공간은 유한 부피를 가지는가?

주요 결과

• 모든 수열이 $\mathcal{K}(n,V)$ 에서 점지향 곰보-하우스도르프 위상에서 손실된 부피 없이 유한 개의 완전한 카플러-아인슈타인 메트릭 공간의 합집합으로 수렴한다.
• 극한 공간은 복소차원이 $n-1$ 이하인 비-로그터미널 부분의 제거된 n차원 준대수적 특이점 모델과 복소다양체적으로 동형이다.
• 극한 공간의 특이점 집합의 하우스도르프 차원은 최대 $2n-4$ 이며, 이 집합 외부에서는 수렴이 매끄럽다.
• Weil-Petersson 메트릭은 KSBA 컴actification 위에서 국소적으로 유계 잠재함수를 가진 카플러 커펄트로 유일하게 확장된다.
• Weil-Petersson 메트릭에 관하여 계수 KSBA 모듈리 공간은 끝없는 부피를 가지며, 첫 번째 체르니클 클래스의 최고차수의 유리수 양성에 의해 증명된다.
• 모듈리 공간의 부피는 $ (c_1(\mathcal{L}))^d \in \mathbb{Q}^+ $ 와 같으며, 이는 교차 이론에 의해 유한 부피임을 확인한다.