[논문 리뷰] Regularity of plurisubharmonic upper envelopes in big cohomology classes

Robert J. Berman, Jean-Pierre Demailly|ArXiv.org|2009. 05. 08.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 14인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 푸주키 클래스 𝒞에 속하는 컴acts한 복소다양체 위에서 큰 코homology 클래스에 속하는 복소다양체의 다중하나형 상한의 정칙성을 확립한다. 매개변수화된 레전드르-키셀만 변환과 오사와-타케구치 유형의 $L^2$ 확장 기법을 사용하여, 특이 해석적 집합을 제외한 영역에서 상한의 복소 헤시안이 국소적으로 유계임을 증명하며, 참조 함수의 해석적 특이성에 따라 폭발 속도에 대한 지수적 및 다항적 경계를 정밀하게 제어한다.

ABSTRACT

The goal of this work is to prove the regularity of certain quasi-plurisubharmonic upper envelopes. Such envelopes appear in a natural way in the construction of hermitian metrics with minimal singularities on a big line bundle over a compact complex manifold. We prove that the complex Hessian forms of these envelopes are locally bounded outside an analytic set of singularities. It is furthermore shown that a parametrized version of this result yields a priori inequalities for the solution of the Dirichlet problem for a degenerate Monge-Ampere operator; applications to geodesics in the space of Kahler metrics are discussed. A similar technique provides a logarithmic modulus of continuity for Tsuji's "supercanonical" metrics, which generalize a well-known construction of Narasimhan-Simha.

연구 동기 및 목표

• 큰 코homology 클래스에 속하는 컴acts한 복소다양체 위에서 준-다중하나형 상한의 정칙성을 확립하기 위해.
• 상한 함수의 특이성을 분석하고, 특이 집합 근처에서 복소 헤시안의 폭발 속도를 정확히 규명하기 위해.
• 특히 비대수적 환경에서 큰 선다발 위의 최소 특이성 지니는 메트릭 이론을 확장하기 위해.
• 매개변수화된 상한 구성 기반으로 열린 망게-암페르 딜리클레 문제의 해에 대한 사전 추정을 도출하기 위해.
• 츠지의 슈퍼캐논리컬 메트릭을 일반화하여, 그 특이성에 대한 로그 모듈러스 연속성의 존재를 증명하기 위해.

제안 방법

• 큰 코homology 클래스 $\{\alpha\}$ 에 대해 상한 $\varphi = \sup\{\psi \geq 0 \mid \psi \text{는 } \alpha\text{-psh}\}$ 을 구성하기 위해.
• 참조 함수 $\psi_0$ 를 사용하여 해석적 특이성을 지닌 $T_0 = \alpha + dd^c\psi_0 \geq \varepsilon_0 \omega$ 를 확보하기 위해.
• 매개변수 $m$ 에 따라 매개변수화된 $\alpha$-psh 함수의 집합에 대해 레전드르-키셀만 변환을 적용하여 대수적 근사 $\varphi^\mathrm{alg}_m$ 를 도출하기 위해.
• $X \setminus Z_0$ 에서의 균일 수렴을 증명하여 $\varphi^\mathrm{alg}_m$ 이 캐논리컬 상한 $\varphi_\mathrm{can}$ 으로 수렴함을 보여주기 위해, 여기서 $Z_0 = \psi_0^{-1}(-\infty)$.
• $L^2$ 확장 정리(오사와-타케구치)를 적용하여 절편의 성장을 제어하고, 헤시안에 대한 $L^p$ 경계를 유도하기 위해.
• $|dd^c\varphi|_\omega \leq C(|\psi_0|+1)^2 e^{B|\psi_0|}$ 를 유도하여, $Z_0$ 근처에서 두 번째 도함수의 폭발 정도를 정량화하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 큰 코homology 클래스에 속하는 컴acts한 복소다양체 위에서 다중하나형 상한의 정확한 정칙성은 무엇인가?
• RQ2 특이 집합 $Z_0 = \psi_0^{-1}(-\infty)$ 근처에서 상한의 복소 헤시안 도함수는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 큰 선다발 위의 최소 특이성 메트릭이 특이 해석적 집합을 제외한 영역에서 제어 가능한 두 번째 순서 정칙성을 지닌다고 보일 수 있는가?
• RQ4 매개변수화된 상한을 사용하여 열린 망게-암페르 딜리클레 문제의 해에 대해 어떤 사전 추정을 도출할 수 있는가?
• RQ5 츠지의 슈퍼캐논리컬 메트릭은 로그 모듈러스 연속성을 지닐 수 있으며, 캐논리컬 상한과의 관계는 어떠한가?

주요 결과

• $\varphi = \sup\{\psi \geq 0 \mid \psi \text{는 } \alpha\text{-psh}\}$ 는 모든 $\delta > 0$ 에 대해 $X \setminus Z_0$ 에서 $C^{1,1-\delta}$ 이다.
• 복소 헤시안 $dd^c\varphi$ 는 $X \setminus Z_0$ 에서 국소적으로 유계이며, $|dd^c\varphi|_\omega \leq C(|\psi_0|+1)^2 e^{B|\psi_0|}$ 를 만족하는 일부 $C, B > 0$ 가 존재한다.
• 두 번째 도함수 $D^2\varphi$ 는 모든 $p > 0$ 에 대해 $L^p_{\rm loc}(X \setminus Z_0)$ 에 속한다.
• 캐논리컬 메트릭 $\varphi_\mathrm{can}$ 은 $X \setminus Z_0$ 에서 연속이며, 대수적 근사 $\varphi^\mathrm{alg}_m$ 의 수열은 $X \setminus Z_0$ 의 컴팩트 부분집합에서 균일 수렴한다.
• 큰 선다발 위의 캐논리컬 메트릭 $h_{\min} = h_L e^{-\varphi}$ 에서, $\varphi$ 의 정칙성은 $Z_0$ 외부에서 참조 메트릭 $h_0 = h_L e^{-\psi_0}$ 의 특이성에 의해 제어된다.
• 결과는 $L^p$ 제약 조건이 있는 상한으로까지 확장되며, 츠지의 슈퍼캐논리컬 메트릭에 대해 로그 모듈러스 연속성을 도출하여, 나라시마한-시마의 구성의 일반화를 이룬다.