[논문 리뷰] Regularization by noise for stochastic Hamilton-Jacobi equations

Paul Gassiat, Benjamin Gess|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 22.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 거친 신호에 의해 구동되는 확률적 해밀토니안-자코비 방정식의 해의 두 번째 도함수에 대해 경로별 $L^∞$ 경계를 수립한다. 여기서 노이즈는 두 번째 도함수가 발산하는 것을 방지함으로써 정규화 효과를 유도함을 보여준다. 이러한 경계는 반사된 확률적 미분 방정식의 해를 통해 표현되며, 최적임이 입증되었으며, 스토크래틱 $p$-라플라스 및 총 변동량 흐름 방정식에 응용된다.

ABSTRACT

We study regularizing effects of nonlinear stochastic perturbations for fully nonlinear PDE. More precisely, path-by-path $L^{\infty}$ bounds for the second derivative of solutions to such PDE are shown. These bounds are expressed as solutions to reflected SDE and are shown to be optimal.

연구 동기 및 목표

• 완전 비선형 PDE, 특히 해밀토니안-자코비 방정식에서 비선형 확률적 교란이 미치는 정규화 효과를 분석하기 위해.
• 스토크래틱 거친 경로 입력에 따라 해의 두 번째 도함수에 대해 날카롭고 경로별 $L^\infty$ 경계를 유도하기 위해.
• 기존의 결정론적 경우에 비해 두 번째 도함수가 유한 시간 내에 발산하는 것을 방지하기 위해 노이즈가 기여하는 바를 보여주기 위해.
• 명시적 구성과 결정론적 대응체와의 비교를 통해 도출된 경계의 최적성을 입증하기 위해.
• 결과를 스토크래틱 $p$-라플라스 및 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 방정식으로 확장하여, 두 번째 도함수가 거의 확실히 유계임을 보여주기 위해.

제안 방법

• 거친 경로 입력 $\xi$ 를 갖는 완전 비선형 SPDE에 대해 스토크래틱 점성해 이론을 활용한다.
• 점성해의 비교 원리 및 안정성 결과를 적용하여 $D^2u$ 에 대한 경계를 도출한다.
• 반사된 SDEs $L^{\pm}(t)$ 를 도입하며, 이는 $dL^{\pm} = V_F(L^{\pm})dt \pm d\xi(t)$, $L^{\pm} \geq 0$ 를 만족하는 최대 연속해로 정의되며, 초기 조건으로 $1/\|D^2u_0\|_{L^\infty}$ 를 갖는다.
• 각 표본 경로에 대해 $\|D^2u(t,\cdot)\|_{L^\infty} \leq 1/(L^+(t) \wedge L^-(t))$ 라는 핵심 경계를 도출한다.
• 부드러운 초기 자료와 점성해 수렴을 이용한 근사 스킴을 활용하여 결과의 타당성을 입증한다.
• $p$-라플라스 케이스에서 운동량 표현 및 비교 원리를 활용하여 노이즈 하에서의 정규성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스토크래틱 교란은 완전 비선형 해밀토니안-자코비 방정식의 해를 두 번째 도함수의 발산을 방지함으로써 정규화할 수 있는가?
• RQ2 노이즈 경로 $\xi$ 를 기반으로 $\|D^2u(t,\cdot)\|_{L^\infty}$ 의 정확한 경로별 경계는 무엇인가?
• RQ3 유도된 경계는 최적이며, 예를 들어 스토크래틱 $p$-라플라스 방정식과 같은 명시적 모델에서 달성 가능한가?
• RQ4 노이즈의 강도 $\sigma$ 는 해의 정규성에 어떤 영향을 미치며, 임계 임계점이 존재하는가?
• RQ5 더 거친 노이즈, 예를 들어 허스트 매개수 $H \in (0,1)$ 를 갖는 분수 브라운 운동의 경우에도 정규화 효과가 유지되는가?

주요 결과

• 스토크래틱 $p$-라플라스 방정식에서 $m \geq 3$ 인 경우, $\sigma^2 > 2(m-1)(m-2)R^{m-3}$ 를 만족하면 모든 $t > 0$ 에 대해 $\|\partial_{xx}u(t)\|_{L^\infty} < \infty$ 가 거의 확실히 성립한다. 여기서 $R = \|\partial_x u_0\|_{L^\infty}$ 이다.
• 임계 노이즈 강도는 최적이며, $m = 3$ 인 경우 $\sigma^2 \leq 4$ 이면 모든 큰 $t$ 에 대해 $\|\partial_{xx}u(t)\|_{L^\infty} = \infty$ 가 거의 확실히 성립한다.
• 경계 $\|D^2u(t,\cdot)\|_{L^\infty} \leq 1/(L^+(t) \wedge L^-(t))$ 는 날카롭며, $m=3$ 인 $p$-라플라스 케이스에서 등호가 성립한다.
• 분수 브라운 운동 $\beta^H$ 에 의해 구동되는 스토크래틱 해밀토니안-자코비 방정식의 경우, 결정론적 경우에 충격이 발생하지만, $\|D^2u(t,\cdot)\|_{L^\infty} < \infty$ 가 모든 $t > 0$ 에 대해 거의 확실히 성립한다.
• 일반적인 연속 경로 $\xi$ 의 경우, 경계는 $L^+(t) = \xi_t - \min_{s \in [0,t]} \xi_s$, $L^-(t) = \max_{s \in [0,t]} \xi_s - \xi_t$ 로 주어지며, 이에 따라 $\|D^2u(t,\cdot)\|_{L^\infty} \leq 1/(L^+(t) \wedge L^-(t))$ 가 성립한다.
• 브라운 운동 $\beta$ 의 경우, $\|Du(t,\cdot)\|_{L^\infty}$ 의 감쇠 속도는 $t^{-1/4}$ 로 이전 연구 결과와 일치한다.